УДАРНЫХ ВОЛН МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

- математическое описание свойств, движения и взаимодействия с окружающей средой поверхностей разрыва параметров среды (ударных волн). В более широком и абстрактном смысле У. в. м. т. описывает свойства поверхностей разрыва решений квазилинейных гиперболических уравнений и систем.. У. в. м. т. возникла в связи с задачами движения газов и сжимаемых жидкостей во 2-й пол. 19 в.; ее основы были заложены в работах С. Ирншоу, Б. Римана, У. Ранкина, П. Гюгоньо (см., напр., [1] - [4]).
При идеализации реальных газов и жидкостей рассматривают среды, лишенные диссипативных свойств, в к-рых отсутствуют вязкость и теплопроводность. В процессе движения в таких идеальных средах могут возникать разрывы в распределениях всех параметров течения (плотности, давления, температуры, скорости и др.). Множества точек разрыва параметров течения могут быть весьма сложными. Систематически рассмотрен лишь простейший основной случай, когда эти множества образуют кусочно гладкие поверхности разрыва, состоящие из точек разрыва параметров 1-го рода. В общем случае двумерные поверхности разрыва перемещаются в трехмерном пространстве с течением времени. Ударные волны являются одним из возможных типов поверхностей разрыва.
Появление разрывов существенно осложняет математич. постановку задачи о течении идеальных газов и жидкостей, так как разрывные функции не могут быть решениями дифференциальных уравнений газовой динамики (гидродинамики). Поэтому течения с поверхностями разрыва описываются обобщенными решениями системы квазилинейных газовой динамики уравнений и У. в. м. т. является частью теории обобщенных решений системы интегральных законов сохранения газовой динамики.
Поверхности разрыва. На поверхностях разрыва должны выполняться условия, вытекающие из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии. Исключение составляют лишь разрывы в момент начала движения (т. н. начальные разрывы), к-рые могут быть произвольными. Пусть - гладкая поверхность разрыва параметров течения газа (жидкости); D - нормальная скорость движения поверхности разрыва. Рассматриваются лишь гомогенные среды, к-рые характеризуются плотностью давлением р(r, t), внутренней энергией единицы массы газа и вектором скорости движения среды и(r, t).
Пустьвточках поверхности где и _п - нормальная и - тангенциальная (по отношению к составляющие вектора скорости и. Условия непрерывности потоков массы, импульса и энергии на поверхности записываются в виде равенств

где квадратные скобки означают скачок стоящей внутри их величины при переходе с одной стороны поверхности разрыва на другую, т. <е. [f(r, t)]=f₁-f₀, где f₁ и f₀ - предельные значения величины f в точке при приближении к ней с разных сторон. Условия (1) являются внутренними граничными условиями, к-рые добавляются к уравнениям газовой динамики на поверхностях разрыва параметров среды.
Существует два типа разрывов: тангенциальные разрывы при и ударные волны при Вектор jназ. потоком массы через единичную площадку движущейся поверхности разрыва (ударной волны)
Тангенциальные и контактные разрывы. Для тангенциального разрыва (j=0) давление непрерывно, [р]=0 на а величины могут иметь на S (t) произвольный скачок. Если хотя бы одна из величин отлична от нуля, то разрыв наз. также контактным разрывом. В случае контактного разрыва поверхность является границей раздела сред с разными свойствами, в частности с разными уравнениями состояния; она образуется линиями тока, выпущенными из поверхности начального контактного разрыва.
Тангенциальный разрыв неустойчив, т. к. под действием даже малой вязкости, присущей газам и жидкостям, начальный разрыв тангенциальной составляющей вектора скорости размывается во все более широкую зону непрерывного перехода. За исключением особых случаев, когда он осуществляется на коротких интервалах времени (тангенциальные разрывы в соплах, начальные участки зон смешения различных потоков к т. п.), он не рассматривается как допустимый разрыв. В этом проявляется ограниченность описания лидеальной