ТРЕУГОЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

-1) Т. э. алгебры End V эндоморфизмов конечномерного векторного пространства . над нолем k - элемент все собственные значения к-рого принадлежат k. Если kалгебраически замкнуто, то всякий элемент из End V треуголен. Для Т. э. X(и только для такого элемента) существует базис в V, относительно к-рого матрица эндоморфизма Xтреугольна (или, что то же, существует инвариантный относительно Xполный флаг в V).Для Т. э. имеется Жордана разложение над k. Существует ряд обобщений понятия Т. з. в End Vна случай бесконечномерного V (см. [2]).
2) Т. э. конечномерной алгебры Анад полем k- такой элемент что оператор правого (или левого, в зависимости от рассматриваемого случая) умножения на аявляется Т. э. в алгебре End_kA. Если Аизоморфна алгебре EndVдля нeк-рого конечномерного векторного пространства V над k, то эти два (формально различные) определения приводят к одному и тому же понятию.
В алгебрах Ли треугольность элемента означает треугольность эндоморфизма ad_x (где аd _х (у)=[ х, у]). Множество всех Т. э. в алгебре Ли, вообще говоря, не замкнуто относительно операций сложения и коммутирования (напр., для - простой алгебры Ли вещественных матриц порядка 2 со следом 0). Однако в случае разрешимой алгебры Аэто множество является даже характеристич. идеалом в А.
3) Т. э. в связной конечномерной группе Ли G - элемент для к-рого Ad_g является Т. э. в End (здесь - присоединенное представление группы Ли Gв группе автоморфизмов ее алгебры Ли Если ,.- экспоненциальное отображение, а - Т. э. (в смысле пункта 2), то ехр (X) - Т. э. в G. Обратное утверждение в общем случае неверно.
Алгебры Ли и группы Ли, все элементы к-рых треугольны, наз. треугольными алгебрами или группами соответственно, а также Ли вполне разрешимыми алгебрами и Ли вполне разрешимыми группами.

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2]Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966; [3] Постников М. М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979.
В. В. Горбацевич.