ТРАНСФИНИТНЫЙ ДИАМЕТР

компактного множества - характеристика d=d(E)компактного множества Ена комплексной плоскости, служащая геометрии, интерпретацией емкости этого множества. Пусть Е- компактное бесконечное множество плоскости z. Величина

где [ а, b]=|а-b| - евклидово расстояние между точками а, b, наз. п- мдиаметром множества Е. В частности, d₂ (Е)- евклидов диаметр множества Е. Точки z_n,1. . . ., z_n,n множества Е, для к-рых в правой части равенства (1) реализуется максимум, наз. точками Фекете (или узлами Вандермонда) для Е. Последовательность величин d_n(E)невозрастающая: п=2, 3, . . ., так что существует предел

Величина d(E)и наз. трансфинитным диаметром множества Е. Если Е- конечное множество, то полагают d(E)=0.Т. д. d(E), Чебышева постоянная и емкость множества С(Е)связаны равенствами
Т. д. множества Еобладает следующими свойствами: 1) если то 2) если а- фиксированное комплексное число и то d(E₁)=|a|d(E);3) если - множество точек, находящихся на расстоянии от Е, меньшем или равном e, то 4) если Е* - множество всех корней уравнения

где Q(z) - данный многочлен, . пробегает множество Е, то Т. д. круга равен его радиусу; Т. <д. прямолинейного отрезка равен четверти его длины.
Пусть Е- ограниченный континуум, D - та из компонент дополнения Едо расширенной плоскости, к-рая содержит точку Тогда Т. д. Еравен конформному радиусу области D(относительно точки
Соответствующие понятия для множеств на гиперболич. и эллиптич. плоскостях определяются следующим образом. Пусть в качестве модели гиперболич. плоскости рассматривается круг |z| <1 с метрикой, определяемой линейным элементом и пусть Е- замкнутое бесконечное множество в круге |z|<l. Тогда n-й гиперболический диаметр d_n,h(E)множества . определяется равенством (1), в к-ром

- гиперболическое псевдорасстояние между точками а и b, т. е. где - гиперболич. расстояние между точками а, b круга |z|<l (см. Гиперболическая метрика). Как и в евклидовом случае, последовательность d_n,h(E) невозрастающая, и существует предел

наз. гиперболическим трансфинитным диаметром множества Е. Определяя гиперболическую постоянную Чебышева и гиперболическую емкость С _h (Е)множества Епосредством гиперболич. псевдорасстояния (2) между точками круга |z|<l аналогично тому, как постоянная Чебышева и емкость С(Е)

определяются при помощи евклидова расстояния между точками плоскости z, получают равенства

Гиперболич. Т. д. инвариантен относительно полной группы гиперболич. изометрий. Если Е - континуум, то имеется простая связь гиперболич. Т. д. d_h(E)сконформным отображением. Именно, пусть Е - континуум в круге |z| <1 и дополнение . до круга |z|<1 конформно эквивалентно круговому кольцу r<|w|<1, 0<r<1. Тогда r=d_h(E).
Пусть в качестве модели эллиптич. плоскости взята расширенная плоскость zс метрикой ее римановой сферы . диаметра 1, касающейся плоскости zв точке z=0, т. e. метрикой, определяемой линейным элементом ds_e=|dz|/(1 + |z|²). при этом пусть отождествлены точки z и z*=-1/z, к-рым при стереографич. проекции расширенной плоскости z на сферу . соответствуют диаметрально противоположные точки на К. Пусть Е - замкнутое бесконечное множество на расширенной плоскости z, где Тогда n-й эллиптический диаметр d_n,е (Е)множества . определяется равенством (1), в к-рoм

- эллиптическое псевдорасстояние между точками а, b множества Е, т. е, где - эллиптич. расстояние между аи b, Как и в предыдущих случаях, последовательность d_n,e(E)невозрастающая, и существует предел называемый эллиптическим трансфинитным диаметром множества Е. Определяя эллиптическую постоянную Чебышева иэллиптическую емкость С _е (Е)множества Епосредством эллиптич. псевдорасстояния (3), получают равенства:

Эллиптич. Т. д. d_e(E) инвариантен относительно группы дробно-линейных преобразований

расширенной плоскости . на себя, дополненной группой отражений относительно эллиптич. прямых. Первая из этих групп изоморфна группе вращений сферы Котносительно ее центра, вторая - группе отражений сферы Котносительно плоскостей, проходящих через ее центр. При данном определении эллиптич. Т. д. множества Еследующим образом связан с конформным отображением. Если Е - континуум на расширенной плоскости z, и дополнение до расширенной плоскости конформно эквивалентно круговому кольцу r<|w|<l/r, 0<r<1, то r=d_e(E).
Понятие Т. д. допускает обобщение для компактов Ев многомерном евклидовом пространстве связанное с потенциала теорией. Пусть для точек

- фундаментальное решение уравнения Лапласа, и для набора точек пусть

Тогда при т=2 справедливо равенство

а при целесообразно принять (см. [4])

Лит.:[1] Fеkсte M.,лMath. Z.