ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ


ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

- 1) Т. <п. унитарных модулей V1 и V2 над коммутативно-ассоциативным кольцом Ас единицей - A-модуль вместе с билинейным отображением


универсальным в следующем смысле: для любого билинейного отображения где W - произвольный A-модуль, существует единственное линейное отображение такое, что

Т. п. определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Оно всегда существует и может быть построено как фактормодуль свободного A-модуля F, порожденного множеством по подмодулю R, порожденному элементами вида

при этом Если отказаться от коммутативности кольца А, то близкая конструкция позволяет сопоставить правому A-модулю V1 и левому А- модулю V2 абелеву группу также называемую Т. п. этих модулей [1]. В дальнейшем Апредполагается коммутативным.
Т. п. обладает следующими свойствами:


для любых А-модулей V, Vi, W.
Если и - базисы модулей V1 и V2,то - базис модуля В частности,


если Vi - свободные конечно порожденные модули (напр., конечномерные векторные пространства над полем А). Т. <н. циклич. A-модулей вычисляется по формуле
где I, J- идеалы в ..

Определяется также Т. п. любого (не обязательно конечного) семейства A-модулей. Т. п.


наз. р-й тензорной степенью A-модуля V;его элементы - это контравариантные тензоры валентности рна V.
Любым двум гомоморфизмам A-модулей i=l, 2, сопоставляется их Т. <п. являющееся гомоморфизмом A-модулeй и определяемое формулой

Эта операция также распространяется на любые семейства гомоморфизмов и обладает функторными свойствами (см. Модуль). Она определяет гомоморфизм A-модулей


к-рый является изоморфизмом, если все Vi, Wi свободны и конечно порождены.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Каш Ф., Модули и кольца, пер. с нем., М., 1981; [3] Костpикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980.
А. Л. Онищик.

2) Т. п. алгебр С 1 и С 2 над коммутативно-ассоциативным кольцом . с единицей - алгебра над А, к-рая получается, если ввести в Т. п. А-модулей умножение по формуле

Определение распространяется на случай любого семейства сомножителей. Т. и. ассоциативно, коммутативно или содержит единицу, если этим свойством обладают обе алгебры С;. Если С 1 и С 2 - алгебры с единицами над полем А, то и -подалгебры в изоморфные С 1 и С 2 и поэлементно перестановочные. Обратно, пусть С - алгебра с единицей над полом А, С1, С2 - ееподалгебры, содержащие единицу и такие, что x1x2 = x2xl для любых Тогда существует гомоморфизм А-алгебр такой, что Для того чтобы был изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы в Сосуществовал базис над А, являющийся базисом правого С 2 -модуля С.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1062.
А. Л. Онищик.

3) Т. п., кронекерово произведение, матриц и В- матрица

Здесь Аесть -матрица, Весть -матрица, а есть -матрица над коммутативно-ассоциативным кольцом k с единицей. Свойства Т. п. матриц:

где

Если т=п и р = q, то

Пусть k - поле, т=п и р=q. Тогда подобна и где Е п - единичная матрица, совпадает с результантом характеристич. многочленов матриц Аи В.
Если - гомоморфизмы унитарных свободных конечно порожденных k-модулей и А, В- их матрицы в нек-рых базисах, то является матрицей гомоморфизма в базисах, состоящих из Т. п. базисных векторов.

Лит.:[1] Халмош П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., М., 1963; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962, гл. 3.
Д. А. Супрупенко.

4) Т. п. представлений и группы Gв векторных пространствах E1 и Е 2 соответственно - представление группы G в векторном пространстве однозначно определенное условием:

для всех Если и - непрерывные унитарные представления топологич. группы Gв гильбертовых пространствах Е 1 и Е 2 соответственно, то операторы в векторном пространстве допускают однозначное продолжение по непрерывности до непрерывных линейных операторов в гильбертовом пространстве (пополнении пространства относительно скалярного произведения, определяемого формулой и отображение является непрерывным унитарным представлением группы Gв гильбертовом пространстве называемым тензорным произведением унитарных представлений и Представления и эквивалентны (унитарно, если и унитарны). Операция Т. ц. может быть определена и для непрерывных представлений топологич. групп в топологич. векторных пространствах общего вида.

А. И. Штерн.

5) Т. п. векторных расслоений Еи Fнад топологическим пространством X - векторное расслоение над X, слоем к-poro в точке является Т. п. слоев , Т. п. можно определить как расслоение, функции перехода к-рого являются Т. п. функций перехода расслоений Еи Fв одном и том же тривиализирующем покрытии (см. Тензорное произведение матриц).

Лит.:[1] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967.
А. Л. Онищик.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ" в других словарях:

  • Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т.д.) перемножаемых пространств. Тензорное произведение линейных пространств и есть линейное пространство, обозначаемое . Для элементов… …   Википедия

  • тензорное произведение — tenzorinė sandauga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. tensor product vok. tensorielles Produkt, n; Tensorprodukt, n rus. тензорное произведение, n pranc. produit tensoriel, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — локально выпуклых пространств E1 и Е 2 локально выпуклое пространство, обладающее свойством универсальности по отношению к заданным на билинейным операторам с нек рым условием непрерывности. Точнее, пусть нек рый класс локально выпуклых… …   Математическая энциклопедия

  • Произведение Кронекера — Произведение Кронекера  бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица. Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого… …   Википедия

  • Произведение Кулкарни — Номидзу определяется для двух (0,2) тензоров и даёт в результате (0,4) тензор. Это произведение позволяет выразить тензор кривизны с нулевым тензором Вейля через тензора кривизны Ричи. Определение Если и (0,2) тензоры, то произведение… …   Википедия

  • Тензорное исчисление —         математическая теория, изучающая величины особого рода тензоры, их свойства и правила действий над ними. Т. и. является развитием и обобщением векторного исчисления (См. Векторное исчисление) и теории матриц (См. Матрица). Т. и. широко… …   Большая советская энциклопедия

  • Индефинитное произведение — Тензорное произведение  одно из основных понятий линейной алгебры. Содержание 1 Тензорное произведение модулей 2 Свойства …   Википедия

  • Прямое произведение — Прямое или декартово произведение  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих… …   Википедия

  • Декартово произведение — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия

  • Декартово произведение групп — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.