- СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
один из основных разделов математич. статистики, посвященный оцениванию по случайным наблюдениям тех или иных характеристик их распределения.
Пример 1. Пусть X1,. . ., Х n - независимые случайные величины (наблюдения) с общим распределением
на прямой, неизвестным наблюдателю. Эмпирическое (выборочное) распределение
приписывающее нагрузку
каждой случайной точке X1, является оценкой для
Эмпирич. моменты
служат оценками для моментовВ частности,
- оценка средней,
- оценка дисперсии.
Основные понятия. В общей теории оценивания наблюдение Xесть случайный элемент со значениями в измеримом пространстве
неизвестное распределение к-рого принадлежит заданному семейству распределений Р. Семейство распределений всегда можно параметризовать и записать в виде
Здесь форма зависимости от параметра и множество
предполагаются известными. Задача оценивания по наблюдению X неизвестного параметра
или значения
функции gв точке
заключается в том, чтобы построить функцию
от наблюдений, достаточно хорошо аппроксимирующую
Сравнение оценок производится следующим образом. Пусть на множествезадана неотрицательная функция потерь w(y1; y2), смысл к-рой состоит в том, что употребление оценки
при фактическом значении параметра
приводит к потерям
Средние потери, функцию риска
принимают за меру качества статистики
как оценки
при функции потерь w. Тем самым на множество оценок вводится отношение частичного упорядочения: оценка Т 1 предпочтительнее оценки T2, если
В частности, оценка Тпараметра
наз. недопустимой (по oтношению к функции потерь w), если найдется оценка T' такая, что
для всех
причем для какого-нибудь
имеет место знак строгого неравенства. При таком способе сравнения качества оценивания многие оценки оказываются несравнимыми, кроме того, выбор функции потерь в значительной степени произволен.
Иногда удается найти оценки, оптимальные внутри нек-рого более узкого класса оценок. Важный класс образуют несмещенные оценки. Если исходный эксперимент инвариантен относительно нек-рой группы преобразований, естественно ограничиться оценками, не нарушающими симметрию задачи (см. Эквивариантная оценка).
Оценки можно сравнивать по их поведению в лхудших
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.