СПЕЦИАЛЬНЫЙ АВТОМОРФИЗМ

построенный по автоморфизму S пространства с мерой(X, v )и функции f (заданной на Xи принимающей положительные целочисленные значения),- автоморфизм Тнек-рого нового пространства с мерой строящийся следующим образом. Точки Мсуть пары ( х, п), где и пцелое, при этом Мснабжается очевидной мерой если и f(x)>n при всех то Если то эту меру обычно еще нормируют. Преобразование Тувеличивает вторую координату точки ( х, п )на единицу, если n+1<f (х). т. е. если при этом точка не выходит из М;в противном случае Т( х, n)=(Sx,0). Преобразование Токазывается автоморфизмом пространства с мерой
Описанная конструкция часто применяется в эргодической теории при построении различных примеров. С другой стороны, роль С. а. ясна из следующего. Отождествляя точку с ( х,0), можно считать, что Тогда f(x)есть время, за к-рое точка, находившаяся вначале в X и двигающаяся под действием каскада { Т ^п}, возвращается снова в X,a Sесть производный автоморфизм Т _X. Таким образом, с помощью С. а. как бы восстанавливают траектории динамич. системы во всем фазовом пространстве, наблюдая только прохождения движущейся точки через множество X.
Д. В. Aносов.