СОПРЯЖЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

гармонически сопряженные функции,- пара действительных гармонич. функций (г. ф.) . и v, являющихся действительной и мнимой частями нек-рой аналитич. ции f=u+iv комплексного аргумента. В случае одного комплексного переменного z=x+iy г. ф. u=и( х, у )и v=v(x, у) являются С. г. ф. в области Dкомплексной плоскости С тогда и только тогда, когда они удовлетворяют в Dсистеме уравнений Коши - Римана

В системе (1) роль г. ф. ии . не симметрична: функция г является сопряженной для и, но для vсопряженной будет не и, а - и. Если задана г. ф. и=и( х, у), то С. г. ф. v=v(x, у )и вся аналитич. ция f=u+iv легко определяются с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого ic;это можно сделать, напр., по формуле Гурса

в окрестности нек-рой точки из области определения и.
В случае многих комплексных переменных z=x+iy=(z₁,..., z_n)=(x₁,. . ., x_n)+i(y,. . ., у _n), п>1, система Коши - Римана становится переопределенной:

Из (3) вытекает, что при n>1 функция иуже не может быть задана как произвольная г. ф.- она должна принадлежать подклассу плюригармонических функций;сопряженную плюригармонич. функцию vможно и в этом случае найти по формуле (2).
Известны различные аналоги системы С. г. ф. ( и, v )в виде вектор-функции f=(u_l,...,u_m), компоненты к-рой u_j=u_j(x_i, ..., х _n )суть действительные функции действительных переменных x_l,. . ., х _п. Такова, напр., градиентная система f=(u₁,. . ., и _n), удовлетворяющая обобщенной системе уравнений Коши - Римана

к-рая записывается также в сокращенном виде:

divf=0, rotf = 0.

Если условия (4) выполняются в области Dевклидова пространства гомеоморфной шару, то существует г. ф. hв Dтакая, что f=gradh. При п=2 получают, что u₂+iu₁ есть аналитич. ция переменного z= =x_1+ix2. Поведение решений системы (4) в нек-рых вопросах аналогично системе Коши - Римана (1), напр. при изучении граничных свойств (см. [3]).

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [2] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] С тейн М., Вейс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974.
К. Д. Соломенцев.