СЛАБЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ

минимальное значение , достигаемое функционалом J(у).на кривой , такое, что для всех кривых сравнения у(х), удовлетворяющих условию e-близости 1-го порядка

(1)

на всем промежутке [x₁, х ₂]. Предполагается, что кривые удовлетворяют заданным граничным условиям.

Если в (1) отбросить условие e-близости но производной, то это приведет к условию e-близости нулевого порядка. Минимальное значение функционала в e-окрестности нулевого порядка наз. сильным относительным минимумом.

Поскольку условие e-близости нулевого порядка выделяет более широкий класс кривых по сравнению с условием e-близости 1-го порядка, всякий сильный относительный минимум является одновременно С. о. м., но не всякий С. о. м. является сильным относительным минимумом.

Для того чтобы экстремаль доставляла С. о. м., необходимо, чтобы на ней выполнялось Лежандра условие. Для сильного относительного минимума вместо условия Лежандра необходимо выполнение более общего Вейерштрасса условия. В терминах теории оптимального управления это различие в формулировках необходимых условий означает следующее: для С. о. м. необходимо, чтобы Гамильтона функция в точках экстремали достигала локального максимума, а для сильного минимума - абсолютного максимума по управлению (в соответствии с принципом максимума Понтрягина).

Достаточные условия С. о. м. налагают нек-рые требования только на экстремаль , тогда как в случае сильного минимума требуется выполнение сходных по смыслу условий не только на экстремали , но и в нек-рой ее e-окрестности нулевого порядка. Экстремаль доставляет С. о. м., если вдоль нее выполняется усиленное условие Лежандра и усиленное условие Якоби. Экстремаль доставляет сильный относительный минимум, если она может быть окружена полем экстремалей и для всех точек этого поля функция Вейерштрасса неотрицательна.

Лит.:[1] Лаврентьев М. А., ЛюстерникЛ. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.-Л., 1950; [2] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957. И. Б. Вапнярский.