- СИМПЛИЦИАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ
категории
- произвольный контравариантный функтор X: 
(или, что то же самое, ковариантный функтор 
) из категории D, объектами к-рой являются упорядоченные множества [n]={0, 1, . . ., п}, 
, а морфизмами - неубывающие отображения m: 
. Ковариантный функтор 
(или, что то же самое, контравариантный функтор 
). наз. косимплициальным объек-т о м категории 
. Морфизмы
категории D, определенные формулами
порождают любой морфизм категории D, так что С. о. Xполностью определен, если для любого
задан объект Х([п])=Х п (наз. n-м слоем, или n-й компонентой, С. о. X).и морфизмы
(наз. соответственно операторами граней и операторами вырождения). В случае, когда
является категорией структуризованных множеств, точки множества Х п наз. обычно n-мерными симплексами С. о. X. Отображения di и si удовлетворяют соотношениям
причем любое соотношение между этими отображениями является следствием соотношений (*). Это означает, что С. о. Xможно отождествить с системой {Х п, di, si}, состоящей из объектов Х n,
, категории 
и морфизмов 
и
удовлетворяющих соотношениям
Аналогично, косимплициальный объект Xможно рассматривать как систему {Х п, di, si}, состоящую из объектов
( п - х кослоев), и морфизмов di:
(операторов кограней), и 
(операторов ковырождения), удовлетворяющих соотношениям (*) (в к-рых положено di=di, si=si).
Симплициальным отображением f:
С. о. Xв С. о. Y(одной и той же категории 
) наз. произвольное преобразование (морфизм) функтора 
в функтор 
, т. е. такая система морфизмов 
, критерии 
, что
,
Симплициальные объекты категории
и их симплициальные отображения образуют категорию 
.
Симплициальной гомотопией
, связывающей симплициальные отображения 
симплициальных объектов категории С, наз. такое семейство морфизов 
, категории 
, что
На основе этого определения в категории
над произвольной категорией 
можно воспроизвести по существу всю обычную теорию гомотопий. В случае категории множеств или топологич. пространств функтор геометрич. реализации (см. Симплициальное множества).переводит эту "симплициальную" теорию в обычную.
Примеры С. о.: симплициальное множество, симплициальное топологич. пространство, симплициальное алгебраич. многообразие, симплициальная группа, симплициальная абелева группа, симплициальная алгебра Ли, симплициальное гладкое многообразие и т. д.
Каждая симплициальная абелева группа является цепным комплексом с граничным оператором d= S (-l)idi.
Лит.:[1] Габриель П., Цисман М., Категории частных и теории гомотопий, пер. с англ., М., 1971; [2] Мау J. Р., Simplicial objects in algebraic topology, Princeton, 1967; [3] Lamоtkе K., Semisimpliziale algebraische Topologie, В.- [u. a.], 1968.
С. Н. Малыгин, М. М. Постников.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
