СВЕРХСХОДИМОСТЬ

- сходимость нек-рой подпоследовательности частных сумм ряда в области, большей, чем область сходимости ряда. Имеют место следующие т е о р е м ы о с в е р х с х о д и м о с т и:

1) если в степенном ряде

с радиусом сходимости , показатели l_n таковы, что для бесконечного множества значений п _v индекса п

где q - фиксированное положительное число, то последовательность частных сумм порядков п _v

сходится равномерно в достаточно малой окрестности каждой точки z₀ окружности , в к-рой сумма ряда f(z) регулярна;

2) если

то последовательность сходится равномерно в любой замкнутой ограниченной части области существования функции f (z).

Имеет место и следующая теорема (обратная первой теореме): если у степенного ряда

с радиусом сходимости , имеется подпоследовательность частных сумм, к-рая равномерно сходится в нек-рой окрестности точки , то данный степенной ряд может быть представлен суммой ряда с радиусом сходимости, большим , и лакунарного степенного ряда

Первые теоремы верны и для многих других рядов, в частности для рядов Дирихле.

Лит.:[1] Б и б е р б а х Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967; [2] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Л е о н т ь е в А. Ф., Ряды экспонент, М., 1976.

А. Ф. Леонтъев.