РОСТОК

- термин, означающий точечную локализацию различных математич. объектов (Р. функций, Р. отображений, Р. аналитических множеств и т. п.). Пусть, напр., хесть точка топологич. пространства и F - нек-рое семейство функций, определенных в окрестности х(каждая в своей). Функции f, gсчитаются эквивалентными (в точке х), если они совпадают в некрой окрестности х. Класс эквивалентности по этому отношению наз. р о с т к о м ф у н к ц и й класса Fв точке х. Так определяются Р. непрерывных функций, дифференцируемых функций в точках дифференцируемого многообразия, голоморфных функций в точках комплексного многообразия и т. п. Если семейство Fобладает нек-рой алгебраич. структурой, то множество Р. функций семейства Fнаследует эту структуру (операции при помощи представителей классов). В частности, Р. голоморфных функций в точке z образуют кольцо. Элементы поля частных этого кольца наз. ростками мероморфных функций в точке z.

Аналогично определяется Р. семейства подмножеств топологич. пространства. Напр., в точках аналитич. многообразия есть Р. аналитических множеств (класс эквивалентности определяется по совпадению в окрестности данной точки). На Р. семейств подмножеств естественно определяются теоретико-множественные операции и отношения. Понятие Р. имеет смысл и для других объектов, определенных на открытых подмножествах топологич. пространства.

См. также Аналитическая функция, Мероморфная функция, Пучок.

Лит.:[1] Г а н н и н г Р., Р о с с и X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969. E. M. Чирка.