РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ

- уравнение, содержащее конечные разности искомой функции. - функция целочисленного аргумента ,

- конечные разности. Выражение содержит значения функции в (m+1)-й точке п, n+1,. . ., п+т. Справедлива формула

(1)

Р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м наз. уравнение вида

(2)

где - искомая и F - заданная функции. Замена в (2) конечных разностей их выражениями через значения искомой функции согласно (1) приводит к уравнению вида

(3)

Если , т. е. уравнение (3) действительно содержит как , так и , то уравне-вие (3) наз. р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м m-го п о р я д к а, или д и ф ф е р е н ц и а л ь н о-р а з н о с т н ы м у р а в н е н и е м.

Наиболее развита теория линейных Р. у., к-рая имеет много общего с теорией обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (см. [1] - [3]). Линейным Р. у. m-го порядка наз. уравнение

(4)

где - заданная функция, , k=0, 1, . . ., m, - заданные коэффициенты, причем , . Решением Р. у. (4) наз. всякая функция , удовлетворяющая уравнению (4). Как и в случае дифференциальных уравнений, различают частное и общее решения Р. у. (4). О б щ и м р е ш е н и е м Р. у. (4) наз. его решение, зависящее от тпроизвольных параметров и такое, что каждое частное решение может быть получено из этого общего решения при нек-ром значении параметров. Обычно конкретные значения параметров находятся из дополнительных условий. Типичной является задача Коши: по заданным , f_n найти решение уравнения

(4) при п=т, m+l, . . . Существование и способ построения решения Р. у. (4) устанавливаются по следующей схеме. Наряду с (4) рассматривается однородное Р. у.

(5)

Справедливы следующие утверждения.

1) Пусть - решения уравнения

(5) и - произвольный набор постоянных. Тогда функция также является решением уравнения (5).

2) Если суть трешений уравнения (5) и определитель

отличен от нуля, то общее решение однородного Р. у. (5) имеет вид

(6)

где - произвольные постоянные.

3) Общее решение неоднородного Р. у. (4) представляется в виде суммы какого-либо частного его решения и общего решения однородного Р. у. (5).

Частное решение неоднородного уравнения (5) можно построить, исходя из общего решения (6) однородного уравнения, путем применения метода вариации произвольных постоянных (см., напр., [2]). В случае Р. у. с постоянными коэффициентами

(7)

можно непосредственно найти тлинейно независимых частных решений. Для этого рассматривается харак-теристич. уравнение

(8)

и ищутся его корни . Если все корни простые, то функции

образуют линейно независимую систему решений уравнения (7). В случае, когда - корень кратности r, линейно независимыми являются решения

Если коэффициенты а ₀, a₁, . . ., а _т действительные и уравнение (8) имеет комплексный корень, напр. простой корень , то вместо комплексных решений выделяют два линейно независимых действительных решения

Пусть имеется Р. у. 2-го порядка с постоянными действительными коэффициентами

(9) Характеристич. уравнение

имеет корни

Общее решение уравнения (9) в случае удобно записывать в виде

(10)

где с ₁ и с ₂ - произвольные постоянные. Если и - комплексно сопряженные корни:

то другое представление общего решения имеет вид

(11)

В случае кратного корня общее решение может быть получено предельным переходом из (10) или (11). Оно имеет вид

Как и в случае уравнений произвольного порядка, для Р. у. 2-го порядка можно рассматривать задачу Коши или различные краевые задачи. Напр., для задачи Коши

(12)

где х - любое действительное число, решением (12) является многочлен Тn (х).степени п(м н о г о ч л е н Ч е б ы ш е в а 1-г о р о д а), к-рый определяется формулой

Краевая задача Р. у. 2-го порядка состоит в нахождении функции , удовлетворяющей при n=1, 2, . . ., N-1 уравнению

(13)

и двум линейно независимым краевым условиям. Такими краевыми условиями могут быть, напр., условия

(14) или условия

(15)

Для Р. у. 2-го порядка справедлив следующий принцип максимума. Пусть дана задача (13), (15) и пусть выполнены условия

Тогда если , n=1, 2, . . ., N-1, то но может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения при n=1, 2, . . ., N-1. Из принципа максимума следует однозначная разрешимость краевой задачи (13), (15) и устойчивость ее решения относительно изменения граничных условий m₁, m₂ и правых частей f_n. Для решения разностных краевых задач (13), (14) применяется прогонки метод (см.[2]). Построить в явном виде решения нелинейных Р. у.

(16)

удается лишь в отдельных очень частных случаях. Для уравнений вида (16) изучаются в основном качественные вопросы поведения решений при и развита теория устойчивости, аналогичная теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [4], [5]).

При разностной аппроксимации уравнений с частными производными возникают многомерные Р. у. (см. [2], [6]). Напр., уравнение Пуассона можно аппроксимировать Р. у.

где

h₁, h₂ - шаги сетки.

Система многомерных Р. у. в совокупности с дополнительными начальными и граничными условиями образует разностную схему. В связи с многомерными Р. у. изучаются такие вопросы, как корректность разностных задач, методы их решения, сходимость при измельчении сетки к решениям исходных дифференциальных уравнений (см. Разностных схем теория).

Хотя существуют различные математические и технич. модели, приводящие к Р. у. (см., напр., [4], [5] ), основной областью их применения являются приближенные методы решения дифференциальных уравнений (см. [6], [9] ).

Лит.:[1] Г е л ь ф о н д А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967; [2] С а м а р с к и й А. А., Н и к ол а е в Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978; [3] С а м а р с к и й А. А., К а р а м з и н Ю. Н., Разностные уравнения, М., 1978; [4] М а р т ы н ю к Д. И., Лекции по качественной теории разностных уравнений, К., 1972; [5] X а л а н а й А., В е к с л е р Д., Качественная теория импульсных систем, пер. с рум., М., 1971; [6] С а м а р с к и й А. А., Теория разностных схем, М., 1977; [7] Б е р е з и н И. С., Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; [8 ]Б а х в а л о в Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [9] Г о рб у н о в А. Д., Разностные уравнения, М., 1972.

А. В. Гулин, А. А. Самарский.