РАДИКАЛ

в классе полугрупп - функция r, ставящая в соответствие каждой полугруппе Sее конгруэнцию r (S).и обладающая следующими свойствами: 1) если Sизоморфна Т и r(S)=0 (через 0 обозначено отношение равенства), то r(T)=0; 2) если q - конгруэнция на Sи r(S/q)=0, то ; 3) r(S/r(S))=0. При выполнении 1) и 3) свойство 2) равносильно неравенству

для всякой конгруэнции q на S. Полугруппа Sназ. r-полупростой, если r(S)=0. Класс r-полупростых полугрупп содержит одноэлементную полугруппу и замкнут относительно изоморфизма и подпрямых произведений. Наоборот, каждый класс полугрупп, обладающий этими свойствами, служит классом r-полупростых полугрупп для нек-рого радикала r. Если r(S)=SxS, то полугруппа Sназ. r-р а д и к а л ь н о й. В отличие от колец Р. в полугруппах не определяется соответствующим радикальным классом. Если в определении Р. ограничиться рассмотрением конгруэнции, определяемых идеалами, то возникает другое понятие Р., где соответствующая функция выделяет в каждой полугруппе идеал.

Если -класс полугрупп, замкнутый относительно изоморфизма и содержащий одноэлементную полугруппу, то функция, ставящая в соответствии каждой полугруппе Sпересечение всех ее конгруэнции q таких, что , оказывается Р., напр. . Класс совпадает с классом -полупростых полугрупп тогда и только тогда, когда он замкнут относительно подпрямых произведений. В этом случае на можно смотреть как на наибольшую факторполугруппу полугруппы Sсреди лежащих в (ср. Реплика).

Пример. Пусть - класс полугрупп, допускающих точное неприводимое представление. Тогда

для всех , где

для некоторых

Рассматривались Р., определенные на данном классе полугрупп, замкнутом относительно гомоморфных образов.

С каждым радикалом r связан класс левых полигонов . Именно, если А - левый S-полигон, то конгруэнция q на полугруппе Sназ. A-аннулирующей, если влечет за собой для всех . Точная верхняя грань всех A-аннулирующих конгруэнций оказывается A-аннулирующей конгруэнцией и обозначается Ann А. Класс , по определению, состоит из всех таких левых S-полигонов А, что r(S/Ann A) ==0, причем Sпробегает класс всех полугрупп. Если q- конгруэнция на S, то левый (S/q)-полигон лежит в тогда и только тогда, когда он лежит в , будучи рассматриваемым как левый S-полигон. Наоборот, если дан класс левых полигонов, обладающий этим свойством, и - класс всех левых S-полигонов, лежащих в , то функция

оказывается Р.

Лит.:[1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 2, М., 1972; [2] С к о р н я к о в Л. А., в кн.: Избр. вопросы алгебры и логики, Новосиб., 1973, с. 283-99;[3] Clifford A. H., "Semigroup Forum", 1970, v. 1, № 2, p. 103-27; [4] R о i z E. N., S с h e i n В. М., там же, 1978, v. 16, № 3, p. 299 - 344. Л. А. Скорняков.