- ПУАНКАРЕ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
изоморфизм р-мерных групп (модулей) гомологии re-мерного многообразия М(в том числе обобщенного) с коэффициентами в локально постоянной системе
групп (модулей), изоморфных G, ( п-р )-мерным когомологиям Мс коэффициентами в ориентирующем пучке
над М(слой этого пучка в точке
совпадает с локальной группой гомологии
. При этом обычные гомологии
изоморфны когомологиям
, с компактными носителями (когомологиям "второго рода"), в то время как гомологии "второго рода"
(определяемые "бесконечными" цепями) изоморфны обычным когомологиям
. В более общем виде имеют место изоморфизмы
, где Ф-любое семейство носителей.
Аналогичные отождествления имеются также для гомологии и когомологий подмножеств
и пар ( М, А).(двойственность Пуанкаре - Лефшеца). Именно, пусть А - открытое или замкнутое подпространство в Ми В=М А . Пусть Ф/В - семейство всех тех множеств из Ф, к-рые содержатся в В, и пусть
- семейство множеств вида
,
. Тогда точная последовательность гомологии пары ( М, В)
совпадает с когомологич. последовательностью пары ( М, А)
Группы
совпадают с
в случае, когда Ф=с, и с
в случае, когда Ф - семейство Vвсех замкнутых в Ммножеств, а множество Взамкнуто (в этом случае символ Ф в первой последовательности может быть опущен, причем имеет место изоморфизм
В случае, когда Ф=Y, а Воткрыто, символ Ф можно опустить лишь во втором и третьем членах гомологич. последовательности, т. к. гомологии
зависят не только от топологич. пространства В, но и от вложения
.
В случае, когда Ф=Y, этот символ (вместе с
) может быть опущен в когомологич. последовательности пары ( М, А). Если Азамкнуто, то
при Ф=Y возникающие когомологий Взависят не только от В, но и от вложения
. Если Ф=с и Азамкнуто, то
можно заменить на с, и в этом случае также
- когомологий "второго рода" прострапства В.
Если Ф=с, но Аоткрыто, то когомологий
отличаются от
(и зависят от вложения
).
Двойственность Пуанкаре - Лефшеца легко может быть применена для описания двойственности между гомологиями и когомологиями многообразия с краем. Полезно иметь в виду, что если все отличные от нуля слои пучка
изоморфны основному кольцу R, то
.
В случае, когда пучок
локально постоянен, существует единственный с точностью до изоморфизма локально постоянный пучок
, для к-рого
. Поэтому если в гомологич. последовательности (*) вместо
использовать пучок коэффициентов
, то в когомологич. последовательности станет (вместо
) фигурировать пучок
. Таким образом, наперед заданные коэффициенты в изоморфизмах двойственности могут фигурировать как в гомологиях, так и в когомологиях.
Наиболее естественное доказательство П. д. получается средствами теории пучков. П. д. в топологии - частный случай соотношений двойственности типа Пуанкаре, справедливых для производных функторов в гомологич. алгебре (другой частный случай - двойственность типа Пуанкаре для гомологии и когомологий групп).
Лит.:[1] Скляренко Е. Г., "Успехи матем. науки", 1979. т. 34, в. 6, с. 90-118; [2] его же, "Матем. заметки", 1980. т. 28, № 5, с. 769-76; [3] Масси У., Теория гомологии и когомологий, пер. с англ., М., 1981. Е. Г. Скляренко
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.