ПРОЕКЦИОННЫЙ СПЕКТР

индексированное направленным множеством( А, >) семейство симплициальных комплексов такое, что для каждой пары индексов , для к-рых a' >a, определено симплициальное отображение (проекция) комплексов N_a' на комплекс N_a. При этом требуется, чтобы , когда a ">a'>a (условие транзитивности). Тогда и говорят, что задан проекционный спектр , или просто S= {N_a, }. Это понятие принадлежит П. С. Александрову (см. [2]); оно, по сути, эквивалентно общему понятию обратной системы, или обратного спектра (см. Спектр в категории). Действительно, каждый комплекс N_a. естественным образом превращается в частично упорядоченное множество симплексов этого комплекса, а следовательно в топологическое T₀ -пространство N_a. При этом проекции становятся непрерывными отображениями. Обратно, если {N_a, } - обратная система из топологических T₀ -пространств и непрерывных проекций , то каждое T₀ -пространство N_a. естественно превращается в частично упорядоченное множество, а это частично упорядоченное множество реализуется в виде симплициального комплекса N_a. При этом непрерывные проекции становятся симплициальными отображениями. Таким образом, П. с.- это в точности обратная система из топологических T₀ -пространств (см. [3]).

Понятия "П. с." (а следовательно,. и обратной системы пространств) и нерва системы множеств (см. ниже) оказали огромное влияние не только на развитие топологии, но и на развитие всей теоретико-множественной математики. После этого стало возможным говорить о теории аппроксимации сложных топологических и алгебро-топологич. объектов более простыми.

Если для каждого комплекс N_a, конечен, то спектр S={N_a, }. наз. конечным проекционным спектром. С каждым П. с. S={N_a, } связываются следующие понятия. Всякий набор симплексов по одному из каждого комплекса N_a. спектра Sназ. нитью этого спектра, если при a' >a всегда , где . Множество всех нитей с топологией, базу к-рой образуют множества вида , где произвольны, означает, что симплекс t'_a0 нити x' в комплексе N_a0 является гранью симплекса t_a0, наз. полным пределом спектра S. Та же топология получается, если индуцировать на топологию тихоновского произведения , где - соответствующее комплексу Na топологическое T₀ -пространство. Нить x'={t'_a} объемлет нить x={t_a}, если для каждого выполнено . Нить x наз. максимальной (соответственно минимальной), если не существует никакой отличной от нее нити, для к-рой она была бы объемлемой (соответственно объемлющей). Подпространство полного предельного пространства спектра S, состоящее из всех максимальных (соответственно из всех минимальных) нитей, наз. верхним (соответственно нижним) пределом спектра S. Полный предел является полурегулярным (в другой терминологии - семирегулярным) Т ₀ -пространством, а верхний и нижний пределы суть Т ₁ -пространства. Если S - конечный П. с., то и - бикомпактные пространства.

В основе всей теории аппроксимации топология, пространств полиэдрами, вернее симилициальными комплексами, лежит введенное П. С. Александровым (см. [1]) понятие нерва системы множеств. Нервом данной системы а множеств наз. симнлициальный комплекс N_a, вершины к-рого взаимно однозначно соответствуют элементам системы а таким образом, что каждое множество вершин определяет симплекс комплекса N_a. тогда и только тогда, когда соответстнующие этим вершинам множества системы а имеют непустое пересечение.

Удобнее рассматривать т. н. канонич. покрытия пространства X. Локально конечное (конечное) покрытие a пространства Xназ. каноническим, если его элементы - канонические множества (замкнутые) (в другой терминологии - регулярные замкнутые) с дизъюнктными открытыми ядрами. Если из двух канонич. покрытий пространства X покрытие a' следует за покрытием a, т. е. a' вписано в а (в этом случае a'>a), то определено естественное симплициаль-ное отображение (проекция) нерва N_a' на нерв N_a, к-рое возникает, если каждому элементу покрытия a' поставить в соответствие тот единственный элемент А ^a. покрытия a, для к-рого . Пусть (соответственно ) обозначает совокупность всех локально конечных (конечных) канонич. покрытий пространства X. Для каждого (соответственно ) обозначена вся совокупность всех локально конечных (конечных) канонич. покрытий пространства X. Для каждого (соответственно ) рассматривается комплекс N_a, являющийся нервом покрытия a. Если a'>a, то определено симплициальное отображение . Полученный таким образом П. с. наз. полным (соответственно конечным) П. с. топологич. пространства X. П. С. Александров [2] еще в 1928 доказал, что каждый метрический (n-мерный) компакт является верхним пределом (n-мерного) конечного П. с. над счетным множеством индексов. А. Г. Курош в 1934 доказал, что каждый бикомпакт есть верхний предел своего конечного П. с. В 1961 В. И. Пономарев доказал, что каждый паракомпакт есть верхний предел своего полного П. с., то есть спектра, построенного над множеством всех локально конечных канонич. покрытий пространства X. В. И. Пономарев ввел понятие расслабления симплициального комплекса К, понимая иод этим всякий замкнутый подкомплекс , содержащий все вершины комплекса К. Нульмерный комплекс, состоящий из всех вершин комплекса К, наз. его полным расслаблением (или остовом). Заменяя все комплексы данного П. с. их (полным) расслаблением и сохраняя при этом проекции, получают (полное) расслабление спектра. Исследование неприводимых совершенных отображений паракомпактов сводится к исследованию расслаблений их полных П. с. При этом предел полного расслабления полного П. с. паракомпакта Xесть т. н. абсолют паракомпакта X, а предел полного расслабления конечного П. с. любого регулярного пространства - бикомпактное расширение Стоуна - Чеха абсолюта этого регулярного пространства. Всякий конечный абстрактный П. с. эквивалентен спектру над нек-рым направленным измельчающимся множеством конечных канонических покрытий нек-рого полурегулярного бикомпактного T₀ -пространства, т. е. получается из этого спектра посредством конечного числа следующих операций: 1) замена спектра изоморфным ему спектром, 2) замена спектра его конфинальной частью, 3) замена спектра спектром, содержащим данный в качестве конфинальной части (теорема Зайцева).

Понятия нерва и П. с. доставили средства для редукции свойств общих пространств, и прежде всего паракомпактов, бикомпактов и метрич. компактов, к свойствам комплексов и их симплициальных отображений. Это позволило определить и изучать гомологические и когомологические инварианты общих пространств, а не только полиэдров (см. Александрова - Чеха гомологии и когомологии, Спектральные гомологии). Все это привело к синтезу геометрических и теоретико-множественных идей в топологии.

Лит.:[1] Александров П. С., "С.r. Acad. sci.", 1927, t. 184, p. 317-20; [2] его же, "Ann. Math.", 1929, v. 30, p. 101-87; [3] его же, "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, в. 1, с. 5-57; [4] его же, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [5] Александров П. С., Пономарев В. И., в кн.: General topology and its relations to modern analysis and algebra, v. 2, Prague, 1967, p. 25-30; [6] Александров П. С., Федорчук В. В., "Успехи матем. наук", 1978, т. 33, в. 3, с. 3-48; [7] Пономарев В. И., "Матем. сборник", 1963, т. 60, .N5 t, с. 89-119; [8] Зайцев В. И., "Труды Моск. матем. об-ва", 1972, т. 27, с. 129-93.

В. И. Пономарев.