ПРИБЛИЖЕНИЯ ТЕОРИЯ

ПРИБЛИЖЕНИЯ ТЕОРИЯ

аппроксимации теория,- раздел математич. анализа, изучающий методы приближения одних математич. объектов другими и вопросы, связанные с исследованием и оценкой возникающей при этом погрешности.

Основное содержание П. т. относится к приближению функций. Фундамент П. т. был заложен работами П. Л. Чебышева (1854-59) о наилучшем равномерном приближении функций многочленами и К. Вейерштрасса (К. Weierstrab), установившего в 1885 принципиальную возможность приблизить непрерывную на конечном отрезке функцию алгебраич. многочленами со сколь угодно малой наперед заданной погрешностью. Развитие П. т. в значительной степени определялось основополагающими работами А. Лебега (Н. Lebesgue), Ш. Ж. Балле Пуссена (Ch. J. La Vаlleе Poussin), С. Н. Бернштейна, Д. Джексона (D. Jackson), Ж. Фавара (J. Favard), А. Н. Колмогорова, С. М. Никольского о приближении функций и классов функций.

С развитием функционального анализа многие вопросы П. т. стали рассматривать в самой общей ситуации, напр. как приближение элементов произвольного линейного нормированного пространства X. При этом выделяют три круга задач, к-рые в определенной степени соответствуют и основным хронологич. этапам развития исследований в П. т.

1. Приближение фиксированного элемента элементами фиксированного множества . Если в качестве меры приближения взять величину


т. е. наилучшее приближение х множеством , то, помимо исследования и оценки Е( х,), возникают вопросы о существовании элемента наилучшего приближения и 0 из (для к-рого ||х- и 0||=Е( х,)), его единственности и характеристич. свойствах. Любой оператор А, отображающий Xв , задает нек-рый метод приближения с погрешностью || х-Ах||. Если - линейное многообразие, то особое значение имеют линейные операторы. Для последовательности п} таких операторов возникает задача об условиях сходимости для любого .

2. Приближение фиксированного множества элементами другого фиксированного множества из X. Наилучшее приближение в этом случае выражается величиной к-рая дает минимально возможную оценку погрешности приближения любого элемента элементами из . В конкретных случаях задача состоит в том, чтобы оценить или точно выразить через характеристики, задающие множества и . Если приближение осуществляется с помощью оператора А , то исследуется верхняя грань


а также (если - линейное многообразие) величина


где нижняя грань распространена на все линейные операторы, отображающие Xв . Линейный оператор, реализующий эту нижнюю грань (если он существует), определяет наилучший линейный метод приближения. Особый интерес представляет выяснение случаев, когда

3. Наилучшее приближение фиксированного множества заданным классом {} аппроксимирующих множеств из X. Предполагается, что в класс {} входят в каком-то смысле "равноценные" множества, напр. содержащие одно и то же количество элементов или имеющие одну и ту же размерность. Первый случай приводит к задаче об e-энтропии множества (относительно X), второй - к задачам вычисления поперечников множества (в пространстве X), в частности величин

(1)

и

(2)

где нижние грани берутся по всем подпространствам из Xфиксированной размерности N (или по всевозможным их сдвигам ). Таким образом, в задачах (1)-(2) речь идет об отыскании наилучшего (соответственно наилучшего линейного) аппарата приближения размерности Nдля множества .

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [2] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [3] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения, функций полиномами, М., 1977; [4] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [5] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [6] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [7] Тиман А. Ф., Теория приближения функции действительного переменного, М., 1960.

Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "ПРИБЛИЖЕНИЯ ТЕОРИЯ" в других словарях:

  • Теория функционала плотности — (англ. density functional theory, DFT)  метод расчёта электронной структуры систем многих частиц в квантовой физике и квантовой химии. В частности, применяется для расчёта электронной структуры молекул и конденсированного вещества.… …   Википедия

  • Теория приближений — Теория приближений  раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближенного представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности.… …   Википедия

  • Теория чисел — Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… …   Википедия

  • ТЕОРИЯ ПОЗНАНИЯ — Гносеология (от греч. gno sis знание, logos слово, понятие), Эпистемолог и я (от греч. episteme знание) раздел философии, исследующий природу человеческого познания, его источники и предпосылки, отношение знания к предмету познания, условия… …   Философская энциклопедия

  • Теория Томаса — Теория Томаса  Ферми (модель Томаса  Ферми) является квантовомеханической теорией электронной структуры системы многих тел, разработана с использованием квазиклассического приближения вскоре после открытия уравнения Шредингера Энрико… …   Википедия

  • теория приближения — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN approximation theory …   Справочник технического переводчика

  • Теория кристаллического поля — квантохимическая модель, в которой электронная конфигурация соединений переходных металлов описывается как состояния иона либо атома, находящегося в электростатическом поле, создаваемым окружающими его ионами, атомами или молекулами. Концепция… …   Википедия

  • Теория романа — Теория романа  разнородные литературоведческие учения, объясняющие жанровую природу и историю романа. Классическая литературная теория, от эпохи эллинизма (начало нашей эры) до позднего классицизма (XVIII век), игнорирует существование… …   Википедия

  • Теория пределов роста — теория приближения естественных пределов экономического роста и ожидания глобальной катастрофы при сохранении: существующих тенденций роста мирового населения; промышленного и сельскохозяйственного производства; загрязнения окружающей среды; и… …   Финансовый словарь

  • ПРИБЛИЖЕНИЯ ПОРЯДОК — аппроксимации порядок, порядок погрешности приближения как переменной величины, зависящей от непрерывного или дискретного аргумента t, относительно другой переменной j(t), поведение к рой, как правило, считается известным. Обычно t нек рый… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»