ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

раздел математич. статистики, характерной чертой к-рого является то, что число производимых наблюдений (момент остановки наблюдений) не фиксируется заранее, а выбирается по ходу наблюдений в зависимости от значений поступающих данных. Стимулом к интенсивному развитию и применению в статистич. практике последовательных методов послужили работы А. Вальда (A. Wald). Им было установлено, что в задаче различения (по результатам независимых наблюдений) двух простых гипотез т. н. последовательный критерий отношений вероятностей дает значительный выигрыш в среднем числе производимых наблюдений по уравнению с наиболее мощным классич. способом различения (определяемой леммой Неймана - Пирсона) с фиксированным объемом выборки и теми же вероятностями ошибочных решений.

Основные принципы П. а. состоят в следующем. Пусть x₁, x₂, . . . - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин и функция распределения зависит от неизвестного параметра q, принадлежащего нек-рому параметрич. множеству Q. Задача состоит в том, чтобы по результатам наблюдений вынести то или иное решение об истинном значении неизвестного параметра q.

В основе любой статистич. задачи решения лежат пространство Dзаключительных (терминальных) решений d(о значениях параметра q) и правило t, определяющее момент прекращения наблюдений, в к-рый и выносится заключительное решение. В классич. методах наблюдений момент t является неслучайным и фиксированным заранее; в последовательных методах t является случайной величиной, не зависящей от "будущего" (марковский момент, момент остановки). Формально, пусть есть s-алгебра, порожденная случайными величинами x₁ ,. . .,x _п. Случайная величина t=t(w), принимающая значения 0, 1, . . ., +, наз. марковским моментом, если событие. для каждого (). Пусть -совокупность тех измеримых множеств А, для к-рых и для каждого . Если интерпретируется как совокупность событий, наблюдаемых до случайного момента n (включительно), то можно интерпретировать как совокупность событий, наблюдаемых до случайного момента t (включительно). Заключительное (терминальное) решение d=d(w) есть - измеримая функция со значениями в пространстве D. Пара d= (t, d)таких функций наз. (последовательным) решающим правилом.

Для выделения среди решающих правил "оптимального" задают функцию риска и рассматривают математич. ожидание . Существуют разные подходы к определению понятия оптимального решающего правила d* = (t*, d*). Один из них, бейесовский, основан на предположении, что параметр q является случайной величиной с априорным распределением p=p(dq). Тогда имеет смысл говорить о p-риске

и называть правило d*=(t*, d* )оптимальным байесовским решением (или p-оптимальным), если для любого другого (допустимого) правила. Наиболее распространенной формой риска W(t,q, d )является риск вида сt+W₁(q, d), где константа интерпретируется как стоимость единичного наблюдения, a W₁(q, d).является функцией потерь от заключительного решения.

В бейесовских задачах отыскание оптимального заключительного решения d*, как правило, не вызывает трудностей, и основные усилия направлены на отыскание оптимального момента остановки t*. При этом большинство задач П. а. укладывается в следующую схему "оптимальных правил остановки".

Пусть , - цепь Маркова в фазовом пространстве , где х _п - состояние цени в момент времени п,s-алгёбра интерпретируется как совокупность событий, наблюдаемых до момента времени п(включительно), а R _х - распределение вероятностей, отвечающее начальному состоянию . Предполагается, что, прекращая наблюдение в момент времени п, получают выигрыш g(x_n). Тогда средний выигрыш от остановки в момент т есть E_xg(x_t), где х - начальное состояние. Функцию s(x).sup E_xg(x_t), где sup берется по всем (конечным) моментам остановки t, наз. ценой, а момент t для к-рого для всех , наз. e- оптимальным моментом остановки. О-оптимальные моменты наз. оптимальными. Основные вопросы теории "оптимальных правил остановки" таковы: какова структура цены s(x), как ее найти, когда существуют e-оптимальные и оптимальные моменты, какова их структура. Ниже приведен один из типичных результатов, касающихся поставленных вопросов.

Пусть функция g(x)ограничена: Тогда цена s(x)является наименьшей эксцессивной мажорантой функции g(x), т. е. наименьшей из функций f(x), удовлетворяющих двум свойствам

где . При этом момент

является e-оптимальньш для всякого e>0, цена s(x).удовлетворяет уравнению Вальда - Беллмана

и может быть найдена по формуле

,

где

.

В том случае, когда множество Еконечно, момент

будет оптимальным. В общем случае момент t₀ является оптимальным, если . Пусть

В соответствии с определением

Иначе говоря, прекращение наблюдений следует производить при первом попадании в множество Г. В связи с этим множество Сназ. множеством продолжения наблюдений, а Г - множеством прекращения наблюдений.

Иллюстрацией этих результатов может служить задача различения двух простых гипотез, на к-рой А. Вальд продемонстрировал преимущество последовательных методов по сравнению с классическими. Пусть параметр 0 принимает два значения 1 и 0 с априорными вероятностями p и 1-p соответственно и множество заключительных решений Dсостоит также из двух точек: d=1 (принимается гипотеза H₁,:q=1) и d=0 (принимается гипотеза H₀:q=0). Если функцию W₁(q, d).выбрать в виде

и положить

то для R^d (p) получают выражение

где

- вероятности ошибок первого и второго рода, а Р _p означает распределение вероятностей в пространстве наблюдений, отвечающее априорному распределению p. Если - апостериорная вероятность гипотезы H₁:q=1 относительно s-алгебры , то

где

Из общей теории оптимальных правил остановки, примененной к х _п=( п,p_n), следует, что функция r(p) =inf_tR^d(p) удовлетворяет уравнению

Отсюда, в силу выпуклости вверх функций r(p), g(p), T_r(p), можно вывести, что найдутся два числа 0А<B1 такие, что область продолжения С={p:А<p<B}, а область прекращения наблюдений Г= = [0, 1](A,В). При этом момент остановки

является оптимальным (p₀=p).

Если р ₀ (х).и р ₁ (х) - плотности распределений F₀ (х)

и F₁ (х).(по мере , a

- отношение правдоподобия, то область продолжения наблюдений (см. рис. 1) может быть записана в виде

и .

При этом если , то выносится решение d=l, т. е. принимаетея гипотеза H₁ : q=1. Если же , то - гипотеза H₀ : q=0.

Структура этого оптимального решающего правила сохраняется и для задачи различения гипотез в условноэкстремальной постановке, состоящей в следующем.

Для каждого решающего правила d=(t, d).вводят вероятности ошибок a(d)=P₁(d=0), b(d)=P₀(d=l) и задают два числа a>0 и b>0; и пусть, далее, D (a, b) - совокупность всех решающих правил с и . Следующий фундаментальный результат был получен А. Вальдом. Если a+b<1 и среди критериев d=(t, d), основанных на отношении правдоподобия j_n и имеющих вид

найдутся такие а=а* и b=b*, что вероятности ошибок первого и второго рода в точности равны a и b, то решающее правило d* = (t*, d*).с а= а* и b= b* является в классе D (a, b) оптимальным в том смысле, что

для любого

Преимущества последовательного решающего правила d*=(t*, d* )по сравнению с классическим проще проиллюстрировать на примере задачи различения двух гипотез Н ₀:q=0 и H₁:0=1 относительно локального среднего значения q винеровского процесса x_t c единичной диффузией. Оптимальное последовательное решающее правило d*=(t*, d*), обеспечивающее заданные вероятности ошибок a и b первого и второго рода соответственно, описывается следующим образом:

где l_t=1n j_t и отношение правдоподобия (производная меры, отвечающей q=1, по мере, отвечающей q=0) j_t (см. рис. 2).

Оптимальное классич. правило (согласно лемме Неймана - Пирсона) описывается следующим

образом:

где

а c_g - корень уравнения

Поскольку , где

то

Численный подсчет показывает, что при

Иначе говоря, при рассматриваемых значениях ошибок первого и второго рода оптимальный последовательный метод различения требует примерно в два раза меньше наблюдений, чем оптимальный метод с фиксированным числом наблюдений. Более того, если a=b, то

Лит.:[1] Вальд А., Последовательный анализ, пер. с англ., М., 1960; [2] Ширяев А. Н., Статистический последовательный анализ, М., 1976. А. Н. Ширяев.