- БЕРГМАНА - ВЕЙЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Бергмана- Вейля формула, Вейля формула,- интегральное представление голоморфных функций, полученное А. Вейлем и С. Бергманом (см.[1], [2]) и определяемое следующим образом. Пусть
- область голоморфности в
, функции
голоморфны в
и
Тогда любую функцию
голоморфную в
и непрерывную в
в любой точке
, можно представить формулой
где суммирование производится по всем
а интегрирование - по соответствующим образом ориентированным
-мерным поверхностям образующим остов области
(см. Аналитический
полиэдр),
а функции
голоморфны в области
и определяются в соответствии с Xефера теоремой (см. [3], с. 245) из равенств
Интегральное представление (*) наз. представлением Бергмана- Вейля.
Области V, фигурирующие в Б.- В. п., наз. областями Вейля; обычно для них требуется дополнительное условие, чтобы ранги матриц
,
на соответствующих множествах
были максимальными
для всех
(такие области Вейля наз. регулярными). Области Вейля в Б.- В. п. можно заменить аналитическими полиэдрами
где
- ограниченные области с кусочно гладкими границами
на плоскости
. Б,- В. п. определяет значение голоморфной функции
внутри аналитич. олиэдра
по значениям
на его остове
; при
размерность
строго меньше размерности
. При
аналитич. олиэдры вырождаются в области с кусочно гладкими границами, остов и граница совпадают, а если еще
и
, то Б.- В. п. совпадает с интегральной формулой Коши.
Важным свойством Б,- В. П. является голоморфность (по
) его ядра. Поэтому если вместо голоморфной функции
поставить произвольную интегрируемую на а функцию, то правая часть Б.- В. п. даст функцию, голоморфную всюду в
и почти всюду в
; такие функции наз. интегралами типа Бергмана- Вейля. Если
голоморфна в
и непрерывна в
, то ее интеграл типа Бергмана - Вейля равен нулю почти всюду в
Из В.- В. п. в области Вейля
после замены
получается разложение Вейля
в ряд по функциям, голоморфным в области D, и этот ряд сходится равномерно на компактных подмножествах V.
Лит.:[1] WеilA., "Math. Ann.", 1935, Bd 111,8.178-82; [2] Bergman S., "Матем., сб.", 1936, т. 1, с. 242-57; [3] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.