ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

порядка т - комплексная функция w=u+iv действительных переменных х и уили, что эквивалентно, независимых комплексных переменных z=x+iy и в плоской области D, представимая в виде

(1)

где f_k(z), k=0, . . ., т-1,- комплексные аналитич. ции в D. Иначе, П. ф. wпорядка тможно определить как функцию, имеющую в Dнепрерывные частные производные по хи уили по z и до порядка твключительно и удовлетворяющую всюду в Dобобщенному условию Коши - Римана:

При m=1 получаются аналитич. ции.

Для того чтобы функция u=u(х, у).была действительной (или мнимой) частью нек-рой П. ф. w=u+iv в области D, необходимо и достаточно, чтобы ибыла полигармонической функцией в D. На П. ф. переносятся с соответствующими изменениями нек-рые классич. свойства аналитич. ций (см. [1]).

П. ф. мультипорядка m=(m₁, . . ., т _п).от комплексных переменных и в области Dкомплексного пространства , наз. функция вида

где - аналитич. ции переменных z₁ ..., z_n в D.

Лит.:[1] Балк М. В., 3уев М. Ф., "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, в. 5, с. 203-2(5. Е. Д. Соломенцев.