ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ЗАКОН


ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ЗАКОН

предельная теорема теории вероятностей, являющаяся уточнением больших чисел усиленного закона. Пусть X1, Х 2, . . .- последовательность случайных величин и


Для простоты предполагается, что Sn для каждого пимеет нуль своей медианой. В то время как теоремы об усиленном законе больших чисел указывают условия, при к-рых почти наверное (п. н.) при , где п} - числовая последовательность, теоремы о П. л. з. имеют дело с числовыми последовательностями n} такими, что

п. <н. (1)

или

п. <п. (2)

Соотношение (1) равносильно тому, что и для любого e>0, где запись "б. ч." означает бесконечное число раз.

Соотношения вида (1) и (2) справедливы при более ограничительных условиях, чем оценки, вытекающие из усиленного закона больших чисел. Если n} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с математич. ожиданием, равным нулю, то п. <н. при (теорема Колмогорова); если выполнено дополнительное условие , то имеет место более сильное соотношение (2), в к-ром


где (теорема Хартмана - Винтнера).

Первой теоремой общего типа о законе повторного логарифма был следующий результат А. Н. Колмогорова [1]. Пусть п}- последовательность независимых случайных величин с математич. ожиданиями, равными нулю, конечными дисперсиями и пусть


Если при и существует последовательность положительных постоянных n} такая, что


то выполнены соотношения (1) и (2) при


В частном случае, когда п} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями, это утверждение было получено А. Я. Хинчиным [2]. IO. Марцинкевич и А. Зигмунд [3] показали, что в условиях теоремы Колмогорова нельзя заменить о на О. Обобщения П. л. з. Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером [4]. Другие обобщения П. л. з. см. в [5]; имеется также следующий результат (см. [6]), примыкающий к теореме Хартмана - Винтнера: если п} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

п. <н.

Результаты, полученные в области П. л. з. для последовательностей независимых случайных величин, послужили отправным пунктом для многочисленных исследований применимости П. л. з. к последовательностям зависимых случайных величин и векторов и к случайным процессам.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126-35; [2] Xинчин А. Я., "Fundam. math.", 1924, v. 6, p. 9-20; [3] Marcinkiewicz J., Zygmund A., там же, 1937, v. 29, p. 215-22; [4] Feller W., "Trails. Amer. Math. Soc.", 1943, v. 54, p. 373-402; [5] Strassen V., "Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb.", 1964, Bd 3, S. 211-26; [6] его же, там же, 1965-66, Bd 4, S. 265-68' [7] Наrtman P., Wintnеr A., "Amer. J. Math.", 1941, v. 63, p. 169- 176; 18] Ламперти Д ж., Вероятность, пер. сангл., М., 1973; [9] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972. В. В. Петров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ЗАКОН" в других словарях:

  • Повторного логарифма закон —         одна из предельных теорем теории вероятностей, близкая по смыслу к закону больших чисел (см. Больших чисел закон). П. л. з. указывает при определённых условиях точный порядок роста сумм независимых случайных величин при увеличении числа… …   Большая советская энциклопедия

  • БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН — одна из форм больших чисел закона (вего общем понимании), утверждающая, что при определенных условиях с вероятностью единица происходит неограниченное сближение средних арифметических последовательности случайных величин с нек рыми постоянными… …   Математическая энциклопедия

  • БОРЕЛЯ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ — исторически первый вариант больших чисел усиленного закона, сформулированный И доказанный Э. Борелем [1] применительно к схеме Бернулли (см. Бернулли испытания). Пусть независимые случайные величины одинаково распределены и принимают два значения …   Математическая энциклопедия

  • Предельные теоремы —         теории вероятностей, общее название ряда теорем вероятностей теории (См. Вероятностей теория), указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т …   Большая советская энциклопедия

  • ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ — теории вероятностей общее название ряда теорем теории вероятностей, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Первые П. т., установленные Я. Бернулли (J. Bernoulli,… …   Математическая энциклопедия

  • БЕРНУЛЛИ БЛУЖДАНИЕ — случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек рые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства случайности , парадоксальные с точки… …   Математическая энциклопедия

  • БЕРНУЛЛИ ИСПЫТАНИЯ — независимые испытания с двумя исходами каждое ( успехом и неудачей ) и такие, что вероятности исходов не изменяются от испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных схем, рассматриваемых в теории вероятностей. Пусть р вероятность успеха и …   Математическая энциклопедия

  • Хинчин, Александр Яковлевич — [р. 7 (19) июля 1894] сов. математик, чл. корр. АН СССР (с 1939), действит. чл. Академии педагогич. наук (с 1944). Проф. Моск. ун та (с 1922). Первые работы относятся к теории функций действительного переменного, где он ввел понятие асимптотич.… …   Большая биографическая энциклопедия

  • ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС — однородный гауссов ский процесс X(t) с независимыми приращениями. В. п. служит одной из математич. моделей для процесса броуновского движения. Простым преобразованием В. п. может быть превращен в стандартный В. п. , , для к рого при таких средних …   Математическая энциклопедия

  • Прохоров, Юрий Васильевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Прохоров. Юрий Васильевич Прохоров Дата рождения …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.