ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

- раздел дифференциальной геометрии, в к-ром изучаются поверхности. Н П. т. исследуются форма поверхности, ее искривление, свойства различного рода линий на поверхности, рассматриваются вопросы изгибания, вопросы существования поверхности с данными внутренними или внешними свойствами и др.

В П. т. имеются две точки зрения: поверхность можно рассматривать как метрич. пространство со своей внутренней метрикой (т. н. внутренняя геометрия), либо поверхность рассматривается как фигура в пространстве (т. н. внешняя геометрия). Многие направления в П. т. (вопросы изометрического погружения, изгибания и др.) посвящены изучению связей между внутренней и внешней геометриями. Для регулярных поверхностей класса С ² эти связи довольно тесны. См. также Погруженных многообразий геометрия.

Изучение поведения кривых на поверхностях ( асимптотических линий, геодезических линий и др.), а также пар их однопараметрич. семейств - т. н. сетей - привело к выделению специальных классов поверхностей. Напр., переноса поверхность характеризуется существованием на ней сети переноса, Фосса поверхность - сетью Фосса, линейчатая поверхность - полугеодезической асимптотич. сетью и т. д. Теория сетей тесно связана с вопросами отображений поверхностей на поверхности. Наиболее важными классами отображений являются: изометрическое отображение, при к-ром сохраняются длины дуг, площади и углы между двумя направлениями, исходящими из одной точки; конформное отображение, при к-ром сохраняются углы между всякими двумя направлениями, выходящими из одной точки (напр., стереографическая проекция); сферическое отображение, при к-ром каждой точке поверхности по параллельности нормалей ставится в соответствии точка сферы; геодезическое отображение, при котором геодезические линии одной, поверхности соответствуют геодезическим другой поверхности; зквиареальное отображение, при к-ром площади соответствующих фигур находятся в постоянном отношении.

Исследования в П. т. сопровождались изучением большого числа классов поверхностей, таких как поверхности второго порядка, винтовые поверхности, геликоиды, Каталина поверхности, коноиды, резные поверхности, каналоеые поверхности, Дюпена циклиды, Эннепера поверхности, Вейнгартена поверхности и др. Много внимания уделяется изучению минимальных поверхностей. В связи с приложениями широко исследовались триортогоналъные системы поверхностей, напр, конфокальные поверхности 2-го порядка.

Помимо изучения свойств поверхностей, неизменных при любых изометрич. преобразованиях всего пространства (относящихся к т. н. метрической П. т.), изучаются свойства поверхностей, инвариантные по отношению к какой-либо другой группе преобразований, напр. группе аффинных или проективных преобразований. Аффинная П. т. рассматривает свойства поверхностей, неизменные при эквиаффинных преобразованиях (т. е. аффинных преобразованиях, сохраняющих объем). Проективная П. т. рассматривает проективно инвариантные свойства поверхностей. См. также Аффинная дифференциальная геометрия, Проективная дифференциальная геометрия, Конформно-дифференциальная геометрия.

Исследования П. т., изучение полей тех или иных геометрич. объектов, связанных с поверхностями, стимулировали развитие многих методов, нашедших применение и в др. областях математики, физики и механики (напр., тензорный анализ, Картана метод внешних форм и др.).

Для П. т. в том виде, в каком она сложилась в кон. 19 в., характерно рассмотрение только достаточно регулярных для применения дифференциального исчисления поверхностей (или их частей). С нач. 20 в. появились направления исследований П. т., в к-рых отказ от требований дифференцируемости компенсируется какими-то иными требованиями, гарантирующими получение содержательных геометрич. результатов. Такими требованиями были, напр., выпуклость изучаемой поверхности (см. Выпуклая поверхность), локальная единственность геодезической. Кроме того, предметом изучения стали поверхности во всем их протяжении (т. н. геометрия в целом), а не в достаточно малом участке, как это имело место в классической дифференциальной геометрии. При этом существенными являются учет их топологич. строения (напр., род поверхности), их полноты в том или ином смысле и связи этих характеристик с распределением кривизны.

Исследования по дифференциальной геометрии многомерных пространств, эллиптического пространства и пространства Лобачевского установили ряд геометрич. фактов, относящихся к П. т. в этих пространствах. Лит.:[1] Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; [2] Бляшке В., Дифференциальная геометрия..., пер. с нем., т. 1, М.-Л., 1935; [3] Норден А. П., Теория поверхностей, М., 1956; [4] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1-2, М.- Л., 1947-48; [5] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963; [6] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.- Л., 1948; [7] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; [8] Darbоux G., Leсons sur la theorie generale des surfaces, 2 ed., t. 1-4, P., 1924- 1925; [9] Вianсhi L., Lezioni di geomclria differenziale, 3 ed., t. 1-2, Bologna, 1937. Ю. А. Аминов.