ПЛОТНОСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ

- общее название теорем, к-рые дают оценку сверху для числа нулей r=b+ig L-функций Дирихле

где - характер по модулю kв прямоугольнике . В случае k=1 получают П. т. для числа нулей дзета-функции Римана

П. т. для L-функций при сложнее, чем соответствующие теоремы для дзета-функции Римана. При растущих параметрах Т к k получаются оценки, зависящие от этих параметров. В приложениях решающую роль играет параметр k.

Значение П. т. выясняется из соотношений, позволяющих оценивать остаточный член в формуле для количества простых чисел р, принадлежащих ариф-метич. прогрессии m=0, 1, 2, ..., и не превосходящих х, в зависимости от N(s, Т,c).

Поскольку функция не возрастает при возрастании s и , целью П. т. является получение оценок, наиболее, быстро стремящихся к нулю при . В свою очередь эти оценки существенно дополняются результатами об отсутствии нулей у L-функций Дирихле в окрестности прямой s=1, к-рые получаются с помощью кругового метода Харди - Литлвуда - Виноградова. На этом пути удалось получить сильные оценки для количества четных чисел , возможно непредставимых в виде суммы двух простых чисел.

Первые П. т., доставлявшие оценки для индивидуального характера и усредненные оценки по всем характерам данного модуля k, были получены Ю. В. Линником. Дальнейшее значительное улучшение П. т. принадлежит А. И. Виноградову и Э. Бомбьери (Е. Bombieri), к-рые использовали оценки N(s, Т,c), усредненные по всем модулям и по всем примитивным характерам данного модуля k, для доказательства теоремы о распределении простых чисел в Эрифметич. прогрессиях в среднем (при ).

Теорема Виноградова - Бомбьери позволяет в ряде классич. задач аддитивной теории чисел заменять расширенную гипотезу Римана. Имеется ряд других улучшений П. т.

Лит.:[1] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [2] Монтгомери Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1974; [3] Лаврик А. Ф., "Успехи матем. наук", 1980, т. 35, в. 2, с. 55-65.

Б. М. Бредихин.