ОСНОВНОГО ТИПА АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

общего типа алгебраическая поверхность,- поверхность одного из самых обширных классов алгебраических поверхностей в классификации Энрикеса. А именно, гладкая проективная поверхность Xнад алгебраически замкнутым Полем k наз. О. т. а. п., если

где - Кодаиры размерность. Это условие равносильно тому, что для нек-рого целого n>0 линейная система | пК|, где К - канонич. дивизор на X, определяет бирациональное отображение поверхности Xна ее образ в P^N для нек-рого N. Всякая О. т. а. и. обладает бирациональным морфизмом на свою минимальную модель.

Минимальные О. т. а. н. характеризуются (см. [1], [3], [6]) каждым из следующих наборов свойств:

а) K²>0 и для любого эффективного дивизора D;

б) K²>0 и , где - двукратный род X;

в) K²>0 и поверхность Xне рациональна;

г) существует такое целое п ₀,. что при любом отображение , определяемое системой | пК|, является бирацнональным морфизмом поверхности Xна ее образ в P^dim|nK| д _ля о. т. а. п. существуют (см. [2], [3], [6], [10]) соотношения (вида неравенств) между численными характеристиками. Пусть - геометрич. род и q - иррегулярность поверхности X, тогда для минимальной О. т. а. п. имеют место следующие неравенства:

1) ;

2) , если K² четно, , если

K² нечетно (эти два неравенства наз. неравенствами Нётера);

3) , где С ₂ - второй класс Чжэня поверхности X(или топологическая эйлерова характеристика).

Наиболее полный результат о кратноканонич. отображениях (j _п к О. т. а. п. есть теорема Бомбьери - Кодаиры: пусть X - минимальная О. т. а. п. над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, тогда отображение

является бирациональным морфизмом на свой образ при всех .Существуют (см. [5], [8], [9]) О. т. а. п., для к-рых уже не обладает этим свойством.

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 75); [2] Богомолов Ф. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1978, т. 42, с. 1227-87: [3] Веauvillе A., Surfaces algebriques complexes, P., 1978; 14] Воmbieri E., "Publ. Math. IHES", 1972, № 42, p. 171-219; [5] Воmbieri E., Cataneso P., The tricanonical map iof surface with K=2, pg=0, C. P. Ramanujam, Atribute, В.- [с. а.], 1978, p. 279-90; [6] Воmbiеri E., Husemnller D., Classification and embeddings of surfaces, Proceedings of Symposia in Pure Math., № 29, Algebraic geometry, 1974, p. 329-420; [7] Horikawa E., "Ann. Math.", 1976, v. 104, p. 357 - 87; [8] его же, "Invent, math.", 1976, v. 37, p. 121-55; 1978/79 v. 50, p. 103-28; [9] Kodaira K., "J. Math. Soc. Japan", 19B8, v. 20, p. 170-92; [10] Miуаоka Y., "Invent, math." 1977, v. 42, p. 225 - 37. В. А. Псковских.