БАЗА

топологического пространства (база топологии, базис топо-логпи, открытая база) - семейство открытых подмножеств такое, что каждое открытое множество является объединением элементов Понятие В.- одно пз основных в топологии: во многих вопросах, относящихся к открытым множествам нек-ро-го пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его Б. Пространство может иметь много В., наибольшую из к-рых образует семейство всех открытых множеств. Минимум мощностей всех Б. наз. весом топологич. пространства X. В пространстве веса существует всюду плотное множество мощности . Пространства со счетной Б. наз. также пространствами со второй аксиомой счетности. Двойственное понятие замкнутой Б., образованной дополнениями к элементам Б., мало употребительно.

Локальной Б. пространства в точке {базой точки ) наз. семейство его открытых множеств, обладающее свойством: для любой окрестности точки найдется элемент такой, что Пространства, имеющие счетную локальную Б. в каждой точке, наз. также пространствами с первой аксиомой счетностп. Семейство открытых в множеств является Б. тогда н только тогда, когда оно является локальной Б. каждой его точки .

Пусть - нек-рые кардинальные числа. Б. пространства наз. -точечной, если каждая точка принадлежит не более чем элементам семейства ; в частности, при Б. наз. дизъюнктной, при конечном m- точечно конечной, при - точечно счетной.

Б. пространства наз. -локальной, если для каждой точки существует ее окрестность , пересекающаяся с не более чем элементами семейства ; в частности, при Б. наз. дискретной, при конечном т- локально конечной, при - локально счетной. Б. наз. -точечной ( -локальной), если она является объединением множества мощности точечных (m-локальных) В.; таковы, напр., при -дизъюнктные, -точечно конечные, -дискретные, -локально конечные Б.

Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. Так, пространство со счетной Б. или с первой аксиомой счетностн и точечно счетной Б. метризуемо; регулярное пространство с s-днскретной или с s-локально конечной Б. мет-ризуемо (обратное верно, однако, лишь для первого утверждения).

Б. пространства Xназ. равномерной ( -равномерной), если для каждой точки (каждого бикомпактного подмножества ) и каждой ее (его) окрестности лишь конечное число элементов Б. содержит (пересекается с ) и одновременно пересекается с дополнением . Пространство метризуемо тогда п только тогда, когда оно является паракомпактом с равномерной Б. (колмогоров-ским, пли с -равномерной Б.).

Б. пространства Xназ. регулярной, если для каждой точки и произвольной ее окрестности существует такая окрестность , что множество всех элементов Б., пересекающихся одновременно с п , конечно. Для метризуемости достижимого или Т ₁ -пространства необходимо и достаточно наличие в нем регулярной Б.

Обобщением понятия Б. является так наз. -база (решеточная Б.) - семейство открытых в пространстве множеств такое, что каждое непустое открытое в множество содержит непустое множество из , т. е. плотно в по Хаусдорфу. Всякая Б. является -базой; обратное неверно, напр., в Стоуна - Чеха бикомпактном расширении в множества натуральных чисел множество образует лишь -базу.

Лит.: [1] Александров П. С., Колмогоров А. Н., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; [2] Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1-2, М.-Л., 1951; [3] Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973; [4] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; Г5] Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968. А. А. Мальцев.