НЕЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

один из разделов функционального анализа, изучающий нелинейные отображения ( нелинейные операторы )бесконечномерных векторных пространств, а также нек-рые классы нелинейных пространств и их отображения. Основными разделами Н. ф. а. являются следующие.

1) Дифференциальное исчисление нелинейных отображений банаховых, топологических векторных и нек-рых других более общих пространств, включая теоремы о локальном обращении дифференцируемого отображения и теорему о неявной функции.

2) Нахождение условий действия, непрерывности, компактности нелинейного оператора, действующего из одного бесконечномерного конкретного пространства в другое.

3) Принципы неподвижной точки для различных классов нелинейных операторов (сжимающих, компактных, уплотняющих, монотонных и др.); применение этих принципов для доказательства существования решений различных нелинейных уравнений.

4) Изучение нелинейных монотонных, вогнутых, выпуклых, имеющих монотонную миноранту и др. операторов в пространствах, наделенных структурой упорядоченного векторного пространства.

5) Исследование спектральных свойств нелинейных операторов (точки бифуркации, непрерывные ветви собственных элементов и пр.) в бесконечномерных векторных пространствах.

6) Приближенное решение нелинейных операторных уравнений.

7) Изучение пространств, линейных в малом, и банаховых многообразий - глобальный анализ.

8) Исследование на экстремум нелинейных функционалов и вариационные методы изучения нелинейных операторов.

Лит.:[1] Вайнберг М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М., 1972; [2] Гаевский X., Грёгер К., 3ахариас К., Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения, пер. с нем., М., 1978; [3] Иллс Дж., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 3, с. 157-210; [4] Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, М., 1962; [5] Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; [6] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., т. 1, М., 1967; [7] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [8] Ниренберг Л., Лекции по нелинейному функциональному анализу, пер. с англ., М., 1977; [9] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962.

В. И. Соболев.