МОМЕНТОВ ПРОБЛЕМА

- одна из интерполяционных задач в действительной или комплексной области.

Первая четкая постановка начального варианта М. п. в действительной области принадлежит Т. Стилтьесу (Т. Stieltjes, 1894). Им в связи с исследованиями цепных дробей поставлена и фактически решена следующая задача: дана последовательность действительных чисел найти ограниченную и неубывающую на функцию такую, что

Как и в каждой интерполяционной задаче, решение М. п. (1) распадается на два этапа.

Задача А. Пусть - множество всех последовательностей действительных чисел , для каждой из к-рых бесконечная система уравнений (1) имеет по крайней мере одно решение с указанными выше свойствами; найти необходимые и достаточные (конструктивные) условия, к-рым должны удовлетворять числа для того чтобы

Задача В. Найти множество всех решений в классе ограниченных и неубывающих на функций , удовлетворяющих бесконечной системе уравнений (1) при заданных

Левые части равенства (1) названы Т. Стилтьесом "моментами". Этот термин заимствован им из механики. Если интерпретировать как массу, размещенную на то интеграл - масса, размещенная на . И тогда интегралы (1) для и представляют собой соответственно первый (статический) и второй (инерции) моменты относительно начала координат всей массы (она отвечает значению в (1)), размещенной на . Обобщая эти понятия, Т. Стилтьес называл интеграл

момент о м...n-го порядка (относительно x=0) данной массы , распределение к-рой на характеризуется функцией Т. Стилтьес связал решение М. п. (1) следующим образом с "природой" цепной (или непрерывной) дроби, отвечающей интегралу

а точнее - формальному ряду

Интегралам соответствует цепная дробь

а также "тесно примыкающая" к (3) цепная дробь

Цепная дробь (4) получается из (3) в результате "сокращений" вида

Опираясь на теорию цепных дробей, Т. Стилтьес доказал, что в определенном смысле необходимым и достаточным условием разрешимости системы (1) (что эквивалентно ) является положительность всех в формуле (3), что, в свою очередь,- следствие положительности и в (4). В терминах эти условия равносильны положительности определителей

и

М. п. (1) наз. определенной для данной последовательности если система (1) имеет единственное решение . В противном случае показано, что если при заданных , система (1) имеет более одного решения, то тогда необходимо система (1) имеет бесконечное множество решений.

Пример: две функции

и

имеют равные моменты

при всех n=0, 1, 2, ....

Т. Стилтьес привел эффективное построение нек-рых решений М. п. (1), к-рые, разумеется, все в известном смысле совпадают, если М. п. (1) является определенной. В случае же, когда М. п. (1) неопределенна, решения Т. Стилтьеса обладают рядом экстремальных свойств. Затем Т. Стилтьес показал, что М. п. (1) является определенной или цепной в зависимости от сходимости или расходимости цепной дроби (3) (что равносильно сходимости или расходимости ряда ).

При этом дробь (3) может быть сходящейся к в то время, как ряд

может расходиться для всех

До работы Т. Стилтьеса [1] М. п. в действительной области рассматривалась в менее общей и менее четкой постановке; таковы, напр., серия работ П. Л. Чебышева [2] и А. А. Маркова [3]. Ими в основном была исследована следующая задача: дать описание свойств класса Uфункций, определенных на , такого, что соотношения

Другими словами, здесь идет речь о максимально полной и конструктивной характеристике класса единственности Uинтерполяционной задачи (5). Решение M. п. (5) играет важную роль в теории вероятностей и математич. статистике. Имеют важное значение также многочлены , являющиеся знаменателями последовательных приближений (т. н. аппроксимант) цепной дроби (4). Изучение свойств систем многочленов впоследствии открыло широкое поле исследований в теории ортогональных многочленов.

Г. Гамбургером (G. Hamburger, 1920) М. п. (1) была обобщена на случай всей действительной оси , при этом рассмотрение отрицательных значений хвнесло ряд особенностей и не было тривиальным. Г. Гамбургер, существенно используя принцип выбора Хелли, исследовал необходимые и достаточные условия разрешимости системы

решив полностью задачу о сходимости цепных дробей (3) и (4), порожденных (6). Объединение задач А и В, относящихся к (6), называют проблемой моментов (6). Г. Гамбургер нашел критерий существования единственного решения М. п. (6). При этом М. п. (6) может быть неопределенной в то время, как соответствующая М. п. (1) (с теми же ) является определенной (имеет единственное решение). Р. Неванлинна (R. Nevanlinna, 1922) представил решение М. п. (6) с помощью интегралов

и изучил свойства этих решений. Ему принадлежит важное замечание о т. н. "экстремальных решениях" М. п. (6).

М. Рисе (М. Riesz, 1921) нашел решение М. п. (6), опираясь на теорию квазиортогональных многочленов, состоящих из линейных комбинаций вида где - константы, а - знаменатель к-й аппроксиманты цепной дроби (4), отвечающей М. п. (6). Он заметил тесную связь между решениями М. п. (6) и справедливостью формулы Парсеваля для системы ортогональных многочленов Т. Карлеман (Т. Carleman, 1923-26) установил связь между М. п. (6), теорией квазианалитич. функций и теорией квадратичных форм от счетного множества переменных. Ему же принадлежит наиболее общий критерий определенности М. п. (6). Ф. Хаусдорф (F. Hausdorff, 1923) нашел критерий разрешимости М. п. (6)при условии, что функция в (6) постоянна вне заданного интервала. Он дал эффективную конструкцию решения М. п. (6)(к-рое при сделанных им предположениях, отмеченных выше, всегда единственно); это дает возможность найти критерии того, чтобы решение М. п. (6) дополнительно обладало рядом специальных свойств (было непрерывным, дифференцируемым и т. п.). Т. Карлеман, а затем М. Стоун (М. Stone, 1932) провели весьма полное исследование М. п. (6), базируясь на результатах теории квадратичных форм Якоби и теории сингулярных интегральных уравнений. Э. К. Хэвиленд (Е. К. Haviland, 1935) и X. Крамер (Н. Cramer, 1937) распространили теорию Рисса М. п. (6) на многомерный случай.

Рассмотрены также многочисленные различные обобщения М. п. В основном упомянутые обобщения являлись вариациями (или комбинациями) следующих двух направлений:

замена степеней в интегралах (6) "моментными" последовательностями функций другого вида, и замена левых частей равенств (6) интегралами иной природы (напр., изучался случай, когда заменено на ) или даже операторами, действующими в абстрактных пространствах.

Так, в связи с первым направлением находится т. н. тригонометрическая проблема моментов, к-рая состоит в следующем: дана бесконечная числовая последовательность найти неубывающую на функцию , удовлетворяющую соотношениям

т. е. решить задачи А и В для системы (7).

Точные формулировки нек-рых предложений из теории М. п. в действительной области таковы. Пусть есть n-мерное евклидово пространство. Функция множества , определенная на семействе всех борелевских множеств в , наз. функцией распределения, если для всех , и

если для всех

Спектром функции распределения Ф наз. множество всех точек таких, что для произвольного открытого множества , содержащего х. Пусть

- n-кратная бесконечная последовательность действительных чисел. Спрашивается, каковы необходимые и достаточные условия, к-рым должны удовлетворять числа (8) для того, чтобы существовала функция распределения со спектром , содержащемся в наперед заданном замкнутом множестве F, являющаяся решением системы

(задача А для системы (9)). Аналогичным образом формулируется задача В для системы (9). Объединение задач А и В для системы (9) наз. F- проблемой моментов. F-M. п. (9) определена, если ее решение в нек-ром смысле единственно. В противном случае F-M. п. (9) наз. неопределенной.

Теорема. Необходимым и достаточным условием разрешимости F-M. п. (9) в является выполнение условия: для любого многочлена

принимающего неотрицательные значения при всех

Эта теорема является основой получения условий разрешимости (т. е. решения задачи А) различных вариаций М. п. (9). Вот нек-рые из них.

Теорема 1. Для того чтобы М. п. (6) () имела решение, необходимо, чтобы

Для существования решения М. п. (6) со спектром, отличным от конечного числа точек, необходимо и достаточно, чтобы

Для существования решения М. п. (6) со спектром, состоящим в точности из различных точек, необходимо и достаточно, чтобы

В последнем случае М. п. (6) всегда является определенной.

Теорема 2. Для того чтобы М. п. (1) была разрешима, необходимо, чтобы

Для существования решения М. п. (1) со спектром, отличным от конечного числа точек, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

Найдены также необходимые и достаточные условия существования решения М. п. (1) со спектром , состоящем в точности из различных точек, отличных от . Эти условия подобны приведенным в заключительной части теоремы 1.

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием разрешимости хаусдорфовой М. п. в R:

является выполнение соотношений для всех , (здесь через обозначена операция взятия k-й разности).

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием разрешимости хаусдорфовой М. п. в R²:

является выполнение соотношений

Теорема 5. М. п. (6) определенна, если

Известны (см., напр., [4]) необходимые и достаточные условия, к-рым должны удовлетворять m_n для того, чтобы М. п. (6) (М. п. (1)) была определенной; однако они менее обозримы по сравнению с условием (10), носящим достаточный характер, а их формулировка несколько громоздка.

М. п. в комплексной области наз. обширный класс интерполяционных задач, описываемый следующим образом. Пусть D- открытая односвязная область комплексной плоскости A(D)- пространство функций, аналитических в Z), с топологией, определяемой равномерной сходимостью на произвольном компакте пусть - пространство всех функций , аналитических в окрестности бесконечно удаленной точки, причем и для любой , (последняя запись эквивалентна тому, что множество особенностей функции лежит в D). Топология в определяется равномерной сходимостью на одной из кривых семейства простых замкнутых жордановых кривых , обладающего свойством: для произвольного компакта существует такая, что (здесь через обозначена открытая односвязная область с границей , являющаяся "внутренней" по отношению к Гa₀). Известно, что пространства и - взаимно сопряженные.

М. п. в комплексной области такова. Пусть заданы целое число р, р>1; функции однолистная в Dфункция и совокупность из р последовательностей комплексных, чисел

Спрашивается, существует ли функция для к-рой имеют, место равенства

Вообще говоря, не для всякой заранее взятой совокупности бесконечная система уравнений (11) имеет хотя бы одно решение . Поэтому совокупность наз. D- допустимой, если существует (хотя бы одна) , удовлетворяющая соотношениям (11).

Задача А. Найти необходимые и достаточные условия (конструктивного характера) D-допустимости совокупности

3адача В. Пусть D-допустима. Спрашивается, как по числам , находящимся в правых частях равенств (11), отыскать все множество функций , , удовлетворяющих соотношениям (11)?

Объединение задач А и В наз. М. п. в комплексной области. Задача В для случая, когда р=1, A_o(z)=l, впервые была рассмотрена в 1937 А. О. Гельфондом [6]; им было указано на принципиальную возможность решения задачи В (при р=1 и A₀(z)=l система (11) всегда имеет единственное решение при D-допустимых правых частях a_ns ). Исследованы многочисленные частные случаи задач А и В (см. [7] - [10]). Использование аппарата теории краевых задач позволило провести (см. [11] - [14]) достаточно полное исследование М. п. в комплексной области.

Область у наз. -инвариантной , если

Исчерпывающее решение М. п. в комплексной области Dпри весьма естественных предположениях относительно функций дано [10] для случая , а также для областей, образы к-рых W(D)погружаемы в нек-рую область . Привлечение теории краевых задач к решению М. п. в комплексной области позволило найти в квадратурах полное решение задачи В для областей указанных типов. В частности, при p = 1 всякая область Gпринадлежит классу Также найдены необходимые и достаточные условия единственности решения системы (11) для важных в приложениях областей D, W -образы к-рых не являются погружаемыми. Здесь принципиально различны два случая: (в последней из отмеченных возможностей вопрос о единственности решения системы (11) исчерпывающе исследован в предположении, что ). Возможны различные вариации М. п. (11), относящиеся к поведению соответствующих функций на Г.

К М. п. в комплексной области с помощью преобразования Бореля и его обобщений (см. Сравнения функция )сводится ряд широко известных интерполяционных задач, напр.:

Кроме того, многие из теорем о целозначных функциях сводятся к весьма частным случаям задачи А.

Лит.:[1] Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар.- К., 1936; [2] Чебышев П. Л., Ноли. собр. соч., т. 3, М.- Л., 1948; [3] Марков А. А., Избр. труды по теории непрерывных дробей..., М.- Л., 1948; [4] Shоhat J. A., Tamarkin J. D., The Problem of Moments, N. Y., 1950; [5] Axиезер Н. И., Классическая проблема моментов..., М.,. 1981; [6] Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967; [7] Вuck R. С, "Trans. Amer. Math. Soc", 1948, v. 64, p. 283-98: [8] eго же, "Duke Math. J.",1948, v. 15, p. 879-91; [9] его ж е, "Comment, math, helv.", 1953, t. 27, p. 75-80; [10] Лохин И. Ф., "Матем. сб.", 1954, т. 35, № 2, с. 223- 230; [11] Казьмин Ю. Л., "Докл. АН СССР", 1970, т. 194, с. 1251 -о4; [12] его же, там же, 1972, т. 204, № 6, с. 1309- 1312; [13]его ж е, там же, т. 205, Ml, с. 19 -22; [14] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М, 1967; [15] Гахов Ф. Д., Краевые задачи, 3 изд., М., 1977; [16] Крейн М. Г., Нудельман А. А., Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, М., 1973.

Ю- А. Казьмин.