МОДУЛЯРНАЯ ФОРМА

одного комплексного переменного, эллиптическая модулярная форм а,- функция на верхней полуплоскости , удовлетворяющая при нек-ром фиксированном кусловию автоморфности:

для любого элемента группы целочисленных матриц с определителем , и такая, что

где . Целое число наз. весом М. ф. f. Если , то М. ф. f наз. параболической модулярной формой. Имеется также [8] определение М. ф. для всех действительных значений к.

Пример М. ф. веса дает ряд Эйзенштейна (см. [4])

где звездочка означает, что при суммировании пара отбрасывается. При этом для нечетных kи

где - число Бернулли.

Множество М. ф. веса кесть комплексное векторное пространство, обозначаемое ; при этом Прямая сумма образует градуированную алгебру, к-рая изоморфна кольцу многочленов от независимых переменных и (см. [3]).

Для каждого комплексный аналитически изоморфен эллиптич. кривой, задаваемой уравнением

где Дискриминант кубич. многочлена в правой части равенства (2) есть параболич. М. ф. веса 12:

где - функция Рамануджана (см. [1]).

Для каждого целого вводятся модулярные формы высшего уровня N, удовлетворяющие условию (1) лишь для элементов конгруэнц-подгруппы уровня Nмодулярной группы. В этом случае с М. ф. f связан голоморфный дифференциал на модулярной кривой , Известный пример М. ф. высшего уровня дают тэта-ряды целочисленных положительно определенных квадратичных форм

к-рые суть М. ф. высшего уровня веса . В этом примере есть целое число, равное числу решений диофантова уравнения

Теория М. ф. позволяет получать оценки, а иногда в точные формулы для чисел типа (такие, как сравнение Рамануджана а также исследовать их свойства делимости (см. [7]). Получена наилучшая оценка для чисел типа (см. [2]).

Важные арифметич. приложения М. ф. связаны с рядами Дирихле преобразований Меллина М. ф. f. Такие ряды Дирихле поддаются детальному изучению (оценки коэффициентов, свойства аналитичности, функциональное уравнение, разложения в эйлеровские произведения) ввиду наличия на модулярных кривых нетривиального кольца соответствий R. Для кривой это кольцо порождается соответствиями где g пробегает все представители элементов фактор множества

Соответствия индуцируют действующие на пространстве М. ф. линейные операторы (операторы Гекке), к-рые самосопряжены относительно скалярного произведения Петерсона (см. [3], [7]). М. ф., являющиеся собственными функциями операторов Гекке, характеризуются тем, что их преобразования Меллина разлагаются в эйлеровское произведение.

Другие продвижения в теорий М. ф. связаны с изучением модулярных кривых и ассоциированных с ними расслоений - многообразий Куги, а также с теорией бесконечномерных представлений адельных алгебраич. групп. При этом теория М. ф. одного переменного успешно переносится на случай многих переменных (см. [6]). Обзор теоретико-числовых приложений М. ф. дан в [5].

Лит.:[1] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; [2] Делинь П., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 5, с. 159-90; [3] Ленг С, Введение в теорию модулярных форм, пер. с англ., М., 1979; [4] Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. с франц., М., 1972; [5] Итоги науки и техники, Алгебра. Топология, Геометрия, т. 15, М., 1977; [6] Modular functions of one variable, [v.] 1-6, B.- Hdlb.- N. Y., 1973-77; [7] ОggA., Modular forms and Dirichlet series, N. Y., 1969; [8] Rankin R., Modular forms and functions, Camb., 1977.

А. А. Папчишкин.