МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

- раздел теории функций действительного переменного, в к-ром свойства функций изучаются на основе понятия меры множества.

Исследованиями многих математиков 19 в. была создана новая математич. дисциплина - теория функций действительного переменного. К кон. 19 в. четко выкристаллизовались нек-рые проблемы, требовавшие своего решения:- проблема меры множества, длин кривых и площадей поверхностей, представления функций рядами (в частности, тригонометрическими), примитивной и интеграла, взаимосвязи интегрирования и дифференцирования, почленного интегрирования рядов и др. Решение этих проблем имело общематематич. значение; в этом направлении работали крупнейшие математики, чем, в частности, и объясняется бурное развитие М, т. ф, в 1-й трети 20 в. Основы М. т. ф. были заложены Э. Борелем (Е. Borel), P. Бэром (R. Bairе), А. Лебегом (Н. Lobosgue) и др.

В 1902 А. Лебег ввел чрезвычайно важное понятие меры множеств ( Лебега меры). На основе этого понятия им была создана теория интеграла ( Лебега интеграла). Эти два основных понятия - мера и интеграл - составляют фундамент М. т. ф., к-рая занимается изучением свойств функций, производных, интегралов, функциональных рядов (в частности, тригонометрич. рядов и общих ортогональных рядов), площадей поверхностей и т. п .

Многие основные свойства меры и интеграла Лебега были установлены в нач. 20 в. самим А. Лебегом (счетная аддитивность меры и интеграла, предельный переход под знаком интеграла, дифференцирование неопределенного интеграла и др.).

Кроме того, А. Лебег дал многочисленные приложения этих исследований к различным вопросам математич. анализа (площади поверхностей, разнообразные свойства тригонометрич. рядов, сингулярных интегралов и др.). Дж. Витали (G. Vitali, 1904) независимо открыл меру, тождественную мере Лебега, а несколько позже У. Юнг (W. Young, 1905) также построил интеграл и меру, эквивалентные интегралу и мере Лебега. Однако они не развили свою теорию и не дали ей в этот период существенных приложений. Начало развития М. т. ф. в России следует отнести к нач. 20 в., хотя первые крупные результаты в этой области были получены русскими математиками во 2-м десятилетии 20 в. (Д. Ф. Егоров, Н. Н. Лузин), когда произошло становление нового крупного центра исследований по М. т. ф. Создателем и руководителем школы М. т. ф. в СССР был Н. Н. Лузин.

Развитие М. т. ф. можно охарактеризовать двумя большими направлениями. Первое направление: на базе меры множества и интеграла Лебега, а также их обобщений исследуются как общие свойства функций, интегралов, тригонометрич. рядов, ортогональных рядов и т. п., так и их более конкретные тонкие свойства, выявление и изучение к-рых при помощи методов классич. анализа было труднодоступным. Это направление и представляет, собственно, М. т. ф. Второе, не менее важное направление, состоит в проникновении методов М. т. ф. в другие разделы математики, а также в создании на базе ее идей других новых областей математики, к-рые в свою очередь оказывают стимулирующее влияние на теорию функций.

На базе М. т. ф. началось детальное изучение граничных свойств аналитических функций;была создана метрическая теория чисел, методы к-рой неразрывно связаны с М. т. ф. Велико влияние теории функций на создание функционального анализа.

Ниже отличаются нек-рые характерные результаты по М. т. ф., каждый из к-рых знаменовал собой решение того или иного узлового вопроса, повлекшего в дальнейшем многочисленные исследования. Так, в 1911 Д. Ф. Егоров доказал, что всякая сходящаяся последовательность измеримых функций является равномерно сходящейся, если пренебречь нек-рым множеством сколь угодно малой меры (см. Егорова теорема). Н. Н. Лузин (1912) установил, что всякая измеримая функция становится непрерывной, если пренебречь некоторым множеством сколь угодно малой меры (см. Лузина С-свойство). Эти два результата трудно переоценить, т. <к., с одной стороны, ими устанавливается определенная взаимосвязь между основными понятиями М. т. ф. и классич. анализа, а с другой - они являются фундаментом, на к-ром очень часто строятся многие исследования по теории функций.

Н. Н. Лузин доказал (1915) существование примитивных в классе измеримых функций. Именно, он показал, что для всякой конечной измеримой функции f(x)существует непрерывная функция F(х)такая, что почти всюду. На основе этого утверждения он решил задачу Дирихле в классе измеримых функций. Это послужило началом активного развития московской школы теории функций комплексного переменного и, особенно, началом изучения граничных свойств аналитич. функций.

Интеграл Лебега не разрешает проблемы нахождения примитивной F(х)по точной конечной производной F'(x)='f(x). Эту проблему решил А. Данжуа (A. Denjoy, 1912) на основе специального интеграла (узкий интеграл Данжуа), к-рый естественно обобщает интеграл Лебега и не противоречит ему (см. Данжуа интеграл). В 1916 А. Данжуа и А. Я. Хинчин построили еще более общий интеграл, к-рый носит название интеграла Данжуа в широком смысле и к-рый связан с аппроксимативной дифференцируемостью.

В начале 3-го десятилетия 20 в. Д. Е. Меньшов и X. Радемахер (Н. Rademacher) установили, что последовательность является множителем Вейля для сходимости почти всюду рядов по любым ортонормированным системам. Кроме того (и это является особенно важным и принципиальным), Д. Е. Меньшов доказал (1923), что указанное выше утверждение теряет силу, если последовательность заменить на любую последовательность с при . Эти результаты стали тем фундаментом, на к-ром основывались и основываются многочисленные исследования по теории сходимости и суммируемости ортогональных рядов.

В 1926 А. Н. Колмогоров построил пример всюду расходящегося тригонометрич. ряда Фурье от суммируемой функции. В то же время длительный период оставалась нерешенной проблема сходимости почти всюду тригонометрич. рядов Фурье от функций , поставленная Н. Н. Лузиным в 1914. Положительное решение этой проблемы было дано Л. Карлесоном (L. Саrleson) лишь в 1966 (см. Карлесона теорема). П. Дюбуа-Реймоном (P. du Bois-Reymond), А. Лебегом и Ш. Балле Пуссеном (Ch. la Vallee Poussin) был решен вопрос о восстановлении коэффициентов тригонометрич. рядов, сходящихся к суммируемым функциям. В 40-х гг. 20 в. А. Данжуа построил интеграл, при помощи к-ро-го им была решена проблема восстановления коэффициентов по сумме произвольных всюду сходящихся тригонометрич. рядов. В это же время Д. Е. Меньшов доказал, что всякая конечная измеримая функция представима нек-рым почти всюду сходящимся тригонометрич. рядом.

Г. Кантором (G. Cantor), У. Юнгом, Н. К. Бари и др. были заложены основы теории единственности тригонометрич. рядов.

Лит.:[1] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.- Л., 1934; [2] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М., 1951; [3] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [4] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; [5] Xалмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [б] Паплаускас А. Б., Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега, М., 1966; [7] Песин И. Н., Развитие понятия интеграла, М., 1966; [8] М е н fain о в Д. Е., Ульянов П. Л., "Вестн. Моск. ун-та. Матем., мех.", 1967, № 5, с. 24-36; [9] Колмогоров А. Н., Теория функций действительного переменного, в кн.: Наука в СССР за пятнадцать лет. Математика, М.-Л., 1932; [10] Метрическая теория функций действительного переменного, в кн.; Математика в СССР за тридцать лет, М.-Л., 1948; [11] Лозинский С. М., Натансон И. П., Метрическая и конструктивная теория функций вещественной переменной, в кн.: Математика в СССР за сорок лет, т. 1, М., 1959; [12] Ульянов П. Л., Метрическая теория функций, в кн.: История отечественной математики, т. 3, К., 1968; [13] Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971.

П. Л. Ульянов.