АБЕЛЕВ ИНТЕГРАЛ

алгебраический интеграл,- интеграл от алгебраической функции, т. е. интеграл вида:

где - любая рациональная функция от переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением

с целыми рациональными по коэффициентами

Уравнению (2) соответствует компактная риманова поверхность F, n -листно накрывающая сферу Римана, на к-рой а следовательно, и рассматриваемые как функции точки поверхности однозначны.

Интеграл (1) задается как интеграл от абелева дифференциала на F, взятый вдоль некоторого спрямляемого пути L. Вообще говоря, задание только начальной и конечной точек этого пути Lне вполне определяет значение А. и. (1), или, что то же, интеграл (1) является, вообще говоря, многозначной функцией от начальной и конечной точек пути L.

Поведение А. и. на Fзависит прежде всего от топологич. структуры, в частности от топологич. инварианта - рода gповерхности F(см. Род поверхности). Род g связан с числом листов пи числом точек ветвления (взятых с надлежащей кратностью) соотношением g=/2- n+1. При переменные выражаются рационально через нек-рый параметр t, и А. и. сводится к интегралу от рациональной функции от t. Так обстоит дело, напр., в элементарных случаях и

При любой А. и. можно выразить в виде линейной комбинации элементарных функций и канонических А. и. трех родов. Интеграл наз. А. и. I рода, если - абелев дифференциал I рода. Иначе, А. и. I рода характеризуется тем, что при фиксированном начале пути Lон является всюду конечной на Fфункцией верхнего предела вообще говоря, многозначной. Эта характеристика используется, напр., при построении аналогов А. и. I рода на некомпактных римановых поверхностях. Любой А. и. I рода может быть представлен в виде линейной комбинации линейно независимых нормальных А. и. I рода

от дифференциалов составляющих канонич. базис абелевых дифференциалов I рода. Если разрезать поверхность Fвдоль циклов канонич. базиса гомологии, то получается односвязная область Для всех путей с фиксированным началом и концом интегралы являются однозначными функциями верхнего предела Многозначность интегралов на теперь полностью характеризуется тем, что интеграл вдоль произвольного пути соединяющего те же точки отличается от интеграла лишь прибавлением целочисленной линейной комбинации A-периодов и В-пе-риодов базисных дифференциалов I рода, составляющих матрицу периодов размера к-рая удовлетворяет билинейным соотношениям Римана (см. А белев дифференциал).

Интеграл где - абелев дифференциал II рода, наз. А. и. II рода. Рассматриваемый как функция от верхнего предела, он всюду на Fне имеет иных особенностей, кроме полюсов. А. и. от нормированного абелева дифференциала II рода наз. нормальным А. и. II рода.

А. и. III рода - это А. и. произвольного вида. На Fони допускают, вообще говоря, и логарифмич. особенности. При этом логарифмич. особенности могут встречаться только попарно. А. и. от нормального абелева дифференциала III рода наз. нормальным А. и. III рода. Любой А. и. можно представить в виде линейной комбинации нормальных А. и. I, II и III рода. В отличие от А. и. I и II рода, А. и. III рода, кроме А- и В-периодов, наз. циклическими периодами, имеет еще, вообще говоря, полярные периоды вдоль циклов, гомологичных нулю, но охватывающих логарифмич. особенности этого А. и., порождаемые полюсами абелева дифференциала с отличными от нуля вычетами.

Для произвольно взятых А. и. на одной и той же римановой поверхности Fсуществуют определенные соотношения, обусловленные топологической и конформной структурой F. Напр., если - нормальный абелев дифференциал III рода с простыми полюсами в точках то справедлива теорема о перестановке параметров и пределов для А. и. III рода: для любых точек Р ₁, Р ₂, Р ₃, Р ₄

Соотношения, связывающие А. и. с рациональными функциями на F, носят назв. теоремы Абеля. Напр., в терминах дивизоров теорема Абеля для А. и. I рода имеет вид: дивизор является дивизором мероморфной функции тогда и только тогда, когда существует такая цепь для всех абелевых дифференциалов I рода на F. Существуют варианты теоремы Абеля для А. и. II и III рода (см. [4]). А. и., и в частности теорема Абеля, служат основой для трансцендентного построения Якоби многообразия римановой поверхности. Вопрос обращения А. и. как функции верхнего предела ведет также к понятиям абелевых функций, эллиптических функций и тета-функций (см. Якоби проблема обращения).

Исторически начало теории А. и. было положено рассмотрением поверхности рода Записав соответствующее уравнение в виде:

где f(z) - многочлен от z3-й или 4-й степени, получают в качестве соответствующих А. и. эллиптические интегралы. Впервые они появились при спрямлении дуг кривых 2-го порядка в работах Я. и И. Бернулли (Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli), Дж. Фаньяно (G. Faniano) конца 17 и начала 18 вв. Л. Эйлер (L. Euler) подошел к теореме сложения для эллиптич. интегралов - частному случаю теоремы Абеля (1752). В 1827 в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Jacobi) была поставлена и решена проблема обращения эллиптич. интегралов. Тем самым было положено начало теории эллиптич. функций. Однако нек-рыми фактами этой теории владел уже к началу 18 в. К. Гаусс (С. Gauss). Проблема обращения А. и. в гораздо более сложном случае возникла в работах Н. Абеля и К. Якоби. В самом начале развития теории большое внимание привлек случай гиперэллиптических интегралов, когда где - многочлен 5-й или 6-й степени без кратных корней. Здесь и трудности проблемы обращения уже достаточно ощутимы. Существенное продвижение в теории А. и. связано с именем Б. Римана (В. Riemann), к-рый ввел понятие римановой поверхности (1851), сформулировал и доказал ряд важных результатов.

Многомерные обобщения теории А. и. изучаются в алгебраич. геометрии и теории комплексных многообразий.