ЛИНЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО

- многообразие нечетной размерности, возникающее как пространство орбит изометричных свободных действий циклич. групп на сфере S^2n-1. Удобно взять в качестве S^2n-1 единичную сферу в комплексном пространстве в к-ром фиксирован базис.

Пусть действует на каждой координате z_k умножением на

где тE обратимо по модулю h, т. е. существуют числа l_k такие, что . Это задает изометричное и свободное (благодаря условию обратимости m_imod h).действие на S^2n-l, причем любое такое действие имеет описанный вид в подходящей системе координат. Рейдемейстера кручение, отвечающее корню h-й степени из единицы, определяется для Л. п. построенного этим способом, формулой

Любое кусочно линейное гомеоморфное ему Л. п. Lдолжно иметь равное (с точностью до ) кручение и оказывается, что наборы чисел должны совпадать. Таким образом, эти наборы характеризуют Л. п. однозначно с точностью до кусочно линейного гомеоморфизма и даже до изометрии, а с другой стороны, благодаря топологич. инвариантности кручения - и с точностью до гомеоморфизма. Л. п. асферично до размерности 2п-2 (т. е. ), а фундаментальная группа равна ввиду того факта, что универсальным накрывающим для служит сфера S^2n-1. Гомологии Lсовпадают до размерности 2n-2 с гомологиями группы т. е. равны во всех размерностях от 2 до 2n-2 и ~ Прямой предел пространств Lдает Эйленберга - Маклейна пространство типа Два Л. п. гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают зацепления коэффициенты где а - образующая группы двумерных когомологий. С помощью этих инвариантов устанавливается существование среди Л. п. асимметричных многообразий.

В трехмерном случае Л. п. совпадают с многообразиями, имеющими Хегора диаграмму рода 1, и поэтому они являются Зейферта многообразиями. Фундаментальную область действия на S³ удобно представлять себе в виде "линзы" - объединения шарового сегмента с его зеркальным образом - откуда и возникло название Л. п.

Лит.:[1] Пуанкаре А., Избранные труды, т. 2, 1972, с. 728; [2] де Рам Ж., "Матем. сб.", 1936, т. 1, с. 737 - 43; [3] Зейферт Г., Трельфалль В., Топология, пер. с нем., М.-Л., 1938; [4] Milnor J., Burlct О., в кн.: Essays on Topology and Related topics, В., 1970., p. 12-17.

А. В. Чернавский.