ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ

одно из основных понятий линейной алгебры. Пусть V - векторное пространство над полем k;векторы а ₁, . . ., а _n наз. линейно независимыми, если

для любого набора кроме k₁=. . .=k_n=0. В противном случае векторы a₁, . . ., а _п наз. лине й-н о зависимыми. Векторы a₁, . . ., а _п линейно зависимы в том и только в том случае, когда по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных. Бесконечное подмножество векторов из Vназ. линейно зависимым, если линейно зависимо его нек-рое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо. Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и наз. рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество - базисом (базой).

В частном случае, когда векторы a₁, . . ., а _п - элементы нек-рого числового поля К,a k - подполе в К, возникает понятие линейной независимости ч и с е л. Л. н. чисел над полем рациональных чисел Qможно рассматривать также, как обобщение понятия иррациональности. Так, числа a и 1 линейно независимы тогда и только тогда, когда a иррационально.

Понятие линейной зависимости и независимости элементов вводится также в абелевых группах и модулях.

Линейная зависимость - частный случай более широкого понятия - абстрактного отношения зависимости на множестве. О. А. Иванова.