ЛИНЕАРИЗАЦИИ МЕТОДЫ

- методы, позволяющие свести решение нелинейных задач к последовательному решению родственных линейных задач.

Пусть рассматривается нелинейное операторное уравнение

где оператор Lотображает банахово пространство Нв себя, L(0)=0, и дифференцируем по Фреше. Одним из классич. методов решения (1), связанным с линеаризацией (1), является итерационный метод Ньютона - Канторовича, в к-ром при известном приближении и ⁿ новое приближение и ⁿ⁺¹ определяется как решение линейного уравнения

основой метода служит аппроксимация (при малых ) выражением - производная Фреше оператора Lв точке и ⁿ. Различные модификации этого метода и соответствующие оценки скорости сходимости могут быть найдены в [1] - [4]. Само операторное уравнение (1) может соответствовать, напр., нелинейной краевой задаче для уравнения с частными производными (см. [2], [4], [5]), и тогда на каждом шаге в (2) должна решаться линейная краевая задача, что вызывает необходимость применения численных методов и той или иной дискретизации исходной задачи и родственных ей линейных задач. С вычислительной точки зрения более естественно рассматривать методы линеаризации после соответствующей дискретизации исходной задачи, считая (1) операторным уравнением в конечномерном пространстве.

Другим примером Л. м. для приближенного решения (1) может служить итерационный метод секущих (ложного положения) (см. [2], [3]). Во многих случаях для задач (1), являющихся задачами математич. физики, линеаризацию предпочитают проводить на основе физич. соображений, заменяя на с линейным оператором (см. [5] - [11]).

Тогда получаемые итерационные методы записываются в виде

Таковы, напр., методы упругих решений и переменных параметров для решения нелинейных задач теории упругости (см. [5] - [8]); при этом для метода упругих решений линейный оператор соответствует оператору линейной теории упругости. К ним же примыкают итерационный метод Качанова (см. [9], [10]) и метод последовательных нагружений (см. [6] - [8]), сочетающий в себе идеи линеаризации и продолжения по параметру. Иногда вместо методов (3) используются более общие итерационные методы типа

с итерационным параметром подлежащим выбору. При реализации упомянутых методов следует учитывать и приближенность решения систем (напр., как следствие применения вспомогательных итерационных методов) (см., напр., [1], [12], [13]). При рассмотрении нелинейных задач на собственные значения (задач нахождения точек бифуркации), напр. вида

идея линеаризации (5), сводящая исследование задачи (5) к исследованию линейной задачи на собственные значения

оказалась весьма плодотворной (см. [14] - [16]). Часто используется та или иная линеаризация и в сеточных методах решения нестационарных нелинейных задач (см., напр., [17] - [21] ), проводимая за счет известных решений в моменты времени до t_n и дающая линейные уравнения для решения в следующий дискретный момент (t - шаг по времени). Лит.:[1] Красносельский М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, т. 1, М., 1969 ; [2] К о л л а т ц Л., Функциональный анализ и вычислительная математика, пер. с нем., М., 1969; [3] О р т е г а Д ж., Р е й н б о л д т В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; [4] Б е л л м а н Р., К а л а б а Р., Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи, пер. с англ., М., 1968; [5] П о б е д р я Б. Б., в кн.: Упругость и неупругость, в. 3, М., 1973, с. 95-173; [6] О д е н Д ж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, пер. с англ., М., 1976; [7] Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, пер. с англ., М., 1975; [8] С в и р с к и й И. В., Методы типа Бубнова - Галеркияа и последовательных приближений, М., 1968; [9] М и х л и н С. Г., Численная реализация вариационных методов, М., 1966; [10] Futik S., Kratochvil A., Necas I., "Acta Univ. Corolinae. Math, et Phys.", 1974, v. 15, № 1-2, p. 31-33; [11] Амосов А. А., Бахвалов Н. С., О с и-п и к Ю. И.; "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1980, т. 20, № 1, с. 104-11; [12] Е i s е n s t a t S. С., S с h u l t z М. Н., S h е r m a n А. Н., "Lect. Notes Math.", 1974, № 430, p. 131 - 53; [13] Дьяконов Е. Г., в кн.: Численные методы механики сплошной среды, т. 7, № 5, М., 1976, с. 14-78; [14] В о р о в и ч И. И., в кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. К шестидесятилетию акад. Л. И. Седова, М., 1969; [15] Бергер М. С., в кн.: Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения, пер. с англ., М., 1974, с. 71-128; [16] Скрыпник И. В., Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка, К., 1973; [17] Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2 изд., М., 1970; [18] Дьяконов Е. Г., Разностные методы решения краевых задач, в. 2 - Нестациопарные задачи, М., 1972; [19] Р и в к и н д В. Я., У р а л ь ц е в а Н. Н., в кн.: Проблемы математического анализа, в. 3, Л., 1972, с. 69-111; [20] Fairweather G., Finite element Galerkin methods for differential equations, N. Y., 1978. [Led. Notes pure and appl. math., v. 34]; [21] L u s k i n M., "SIAM J. Numer. Analysis", 1979, v. 16, № 2, p. 284-99.

Е. Г. Дьяконов.