ЛЕВИ - ПРОХОРОВА МЕТРИКА

метрика в пространстве конечных борелевских мер на метрич. пространстве (U, d), определяемая равенством:

где есть -алгебра борелевских множеств из (U, d).и

Л.- П. м. введена Ю. В. Прохоровым [1] как обобщение Леви метрики. Величина не изменится, если в ее определении оставить одно из двух неравенств и заменить системой всех открытых или всех замкнутых множеств из (см. [2]).

Важнейшие свойства Л. - П. м.

1) Метрич. пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельно (U, d).

2) Пространство (U, d).полно, если полно пространство Обратное верно, если меры из имеют сепарабельные носители.

3) В пространстве Л.- П. м обладает свойствами, аналогичными свойствам метрики Леви. Именно, свойством регулярности 3) и его следствиями, свойствами 4), 5), свойством 6) (в случае ), частично свойством 7) (именно, ), а также аналогом свойства 8), если (U, d).является линейным нормированным пространством: если

то для любых

4) В случае U-R^k Л.- П. м. в оценивается с помощью характеристич. функций f, g, соответствующих мерам Р, Q (см. [3], [4]).

5) Л.- П. м. является минимальной метрикой по отношению к расстоянию по вероятности

(см. [5]).

Лит.:[1] Прохоров Ю. В., "Теория вероятн. и се примен.", 1956, т. 1, в. 2, с. 177-238; [2] Dudley R. М., "Ann. Math. Statistics", 1968, v. 39, № 5, p. 1563-72; [3] Ю р и н с к и й В. В., "Теория вероятн. и ее примен.", 1975, т. 20, в. 1, с. 3-12; [4] Абрамов В. А., там же, 1976, т. 21, в. 2, с. 406 - 410; [5] Strassen V., "Ann. Math. Statistics", 1965, v. 36, № 2, p. 423-39; [6] Б и л л и н г с л е й П., Сходимость вероятностных мер, пер. с англ., М., 1977. В. М. Золотарев.