КРЫЛА ТЕОРИЯ

- раздел аэродинамики, изучающий взаимодействие тел с потоками жидкости и газа. Основная задача К. т.- определение аэродинамич. сил, действующих на тело, и нахождение поля скоростей и и давления ркак функций времени tи декартовых координат x=(x₁. . . , х _n), п=2 для плоских и п=3 для пространственных течений.

Для безвихревых баротропных течений в отсутствие вязких и массовых сил плотность газа р - известная функция давления компоненты скорости u_i - частные производные потенциала В области, занятой газом, удовлетворяет квазилинейному уравнению

где

- скорость звука, - символы Кронекера. Давление р определяется потенциалом из интеграла Коши - Лагранжа

Граница области течения состоит из кусочно гладкой поверхности крыла Sи конечного числа поверхностей контактного разрыва к-рые пересекаются с Sпо ребрам заострения кромок крыла либо касаются S. В плоских течениях - кусочно гладкие кривые, кромки крыла - угловые точки S. На Sпотенциал удовлетворяет условию непротекания, а на - условиям контактного разрыва:

где

- уравнения поверхностей - предельные значения при подходе к различным сторонам поверхности На линиях пересечения ставится условие Жуковского - Кутта - Чаплыгина о конечности давлений в кромках крыла

В стационарном случае (4) совпадает с условием конечности скоростей в точках Форма поверхностей неизвестна и определяется вместе с решением задачи.

Поверхности моделируют вихревой след, возникающий за обтекаемым телом в реальных течениях (см. Аэродинамики математические задачи). Этот факт согласуется с тем, что в рамках гипотезы о безвихревом характере движения непрерывного решения задачи об обтекании крыла с конечной величиной давления в острых кромках в общем случае не существует. В исключительных случаях, напр. для плоских стациопарных течений с постоянной циркуляцией скорости вокруг крылового профиля, поверхности разрыва могут отсутствовать.

Уравнения (1) - (4) вместе с начальными данными образуют краевую задачу для нахождения Ее тип определяется характером течения и числом Маха Для неустановившихся движений сжимаемой жидкости и стационарных сверхзвуковых (М>1) течений уравнение (1) имеет гиперболич. тип, для движений несжимаемой жидкости и стационарных дозвуковых (М<1) течений уравнение (1) эллиптическое. В последнем случае в предположении, что S- кусочно гладкая кривая, имеющая одну угловую точку x₀ с углом ap, справедливо утверждение: для любого вектора k,|k|=l, существует такое, что при задача (1) - (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее в x₀ условию Жуковского - Кутта - Чаплыгина и условию на бесконечности:

причем при при где - число Маха течения.

Для стационарных плоских дозвуковых течений справедлива основная теорема Жуковского (см. [1]-[3]): при обтекании профиля полная сила, действующая на него со стороны жидкости, перпендикулярна k, а ее величина R равна

Для таких течений доказана математич. корректность более общих задач: о совместном обтекании нескольких профилей; об обтекании крыла со срывом струй и с образованием застойной зоны (струйные течения); обратные задачи, определяющие формы крыла и его части по заданной эпюре давлений [4].

В связи с трудностями решения задач К. т. в точной постановке большое значение имеют приближенные модели: теория тонкого крыла, К. т. малого удлинения и т. д. Наиболее распространенной из них является линейная теория слабого изогнутого тонкого крыла (см. [1], [5]-[11]). В ее основе лежат следующие предположения: потенциал течения имеет вид толщина крыла и малы по отношению к хорде крыла и скорости невозмущенного потока q>0. В теории тонкого крыла поверхность Sмоделируется ее проекцией S₀ на плоскость х _n = 0, а поверхность контактного разрыва - полуполосой где - объединение всех лучей, параллельных оси Ох ₁, выходящих из точек S₀ в положительном направлении этой оси. Функция Ф(x, t).удовлетворяет линеаризованным уравнениям и граничным условиям:

где - постоянные скорость звука и число Маха, соответствующие равномерному потоку со скоростью q, через [f] обозначен скачок величины f при переходе через - заданные функции, определенные формой и условиями движения крыла.

К этим уравнениям добавляются соотношения, определяющие поведение решений на бесконечности: в задачах о стационарных дозвуковых течениях - затухание возмущений при в задачах о малых дозвуковых колебаниях крыла - условие излучения Зоммерфельда (излучения условия), в задачах о сверхзвуковых течениях добавляется равенство Ф=0 на головной волне возмущений (огибающей характеристических конусов с центрами на S₀).

Основной метод решения задач теории тонкого крыла - представление в виде вихревых поверхностей и сведение краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям для плотности вихря. При этом: в точках границы S₀, не принадлежащих , производные Ф, как правило, обращаются в бесконечность. Линейная теория пригодна для описания реальных течений лишь вне нек-рой окрестности передней кромки крыла.

В линейной теории тонкого крыла получены решения в виде бесконечных рядов, содержащих специальные функции, плоской задачи о малых гармония, колебаниях крылового профиля, пространственной стационарной задачи в случае, когда Sявляется эллипсом (см. [1], [5]-[9]). Для расчета крыльев произвольной формы в плане разработаны численные методы (см. [10], [11]).

Лит.:[1] Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, 2 изд., М., 1966; [2] Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963; [3] Б е р с Л., Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики, пер. с англ., М., 1961; [4] М о н а х о в В. Н., Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений, Новосиб., 1977; [5] Н е к р а с о в А. И., Теория крыла в нестационарном потоке, М.-Л., 1947; [6] Г о р е л о в Д. Н., Теория крыла в нестационарном потоке, Новосиб., 1975; [7.1 М а й л с Д ж., Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений, пер. с англ., М., 1963; [8] Голубев В. В., Труды по аэродинамике, М.- Л., 1957; [9] К о ч и н Н. Е., "Прикл. ма-тем. и механ.", 1945, т. 9, в. 1, с. 13-66; [10] Красильщиков а Е. А., Крыло конечного размаха в сжимаемом потоке, М.- Л., 1952; [11] Белоцерковский О. М., Н и ш т М. И., Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью, М., 1978.

В. Н. Монахов, П. И. Плотников.