КРОНЕКЕРА МЕТОД

КРОНЕКЕРА МЕТОД

- метод разложения многочлена с рациональными коэффициентами на неприводимые множители над полем рациональных чисел; предложен в 1882 Л. Кронекером [1], Пусть d - общий знаменатель всех коэффициентов многочлена Тогда - многочлен с целыми коэффициентами; причем из любого разложения на неприводимые множители с рациональными коэффициентами можно получить разложение f(x).на неприводимые множители с целыми коэффициентами, множители к-рого отличаются от соответствующих множителей лишь постоянными множителями, и обратно.

Пусть f(x).имеет степень n>0 и k - наибольшее натуральное число, для к-рого Если X X - разложение f(x).на множители с целыми коэффициентами, где степень g(x). не больше степени h(x), то степень g(x).не превосходит k. Давая хлюбые k+1 различных целых значений получают равенства

где g(ci).и h(ci) - целые числа. Таким образом, g(ci).делит f(ci). Беря произвольные делители di чисел f(ci), получают

Из этих равенств многочлен g(x).находится по интерполяционной формуле Лагранжа или проще - из уравнений для коэффициентов. Найденный многочлен g(x).надо испытать, проверив, делит ли он f(x). Это построение многочлена и проверка проводятся для всевозможных наборов делителей чисел f(ci).

Далее этот же процесс применяется к g(x).и h(x).и т. д., пока не приходят к неразложимым множителям. К. м. приводит к громоздким вычислениям. Для упрощения можно сначала понизить степень f(x), выделив его рациональные корни (см. [3] с. 355).

Пример. (это многочлен с целыми коэффициентами и без рациональных корней). Если где степень kмногочлена g(x).не больше степени h(х), то т. е. k=2. Пусть Тогда f(0)=1; f(1)= -5; f(2)=-21. Делители этих чисел: Всего получается комбинации. Две комбинации di, отличающиеся лишь знаком, дают два многочлена Поэтому можно проверять лишь . Остаются 32 случая. Перебирая все эти случаи, можно найти лишь один многочлен 2-й степени, делящий f(x). Это Откуда Оба сомножителя этого разложения неприводимы (как многочлены 2-й и 3-й степеней, не имеющие рациональных корней).

Лит.:[1] Kronecker L., "J. reine und angew. Math.", 1882, Bd 92, S. 1 - 122; [2] О к у н е в Л. Я., Высшая алгебра, М., 1937; [3] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. И. В. Проскуряков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "КРОНЕКЕРА МЕТОД" в других словарях:

  • Метод Кронекера — Метод Кронекера  метод разложения многочлена с целыми коэффициентами на неприводимые множители над кольцом целых чисел; предложен в 1882 Кронекером. Алгоритм Кронекера находит для данного многочлена многочлен , такой, что делится на , или… …   Википедия

  • Метод Гаусса — У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса (оптимизация). Метод Гаусса[1]  классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью… …   Википедия

  • Кронекер, Леопольд — Леопольд Кронекер Леопольд Кронекер Дата рождения: 7 декабря 1823 …   Википедия

  • Кронекер Л. — Леопольд Кронекер Леопольд Кронекер (нем. Leopold Kronecker; 7 декабря 1823, Лигниц, Германия, ныне Легница, Польша  29 декабря 1891, Берлин, Германия)  немецкий математик. Брат известного физиолога Гуго Кронекера (1830 1914). Иностранный член… …   Википедия

  • Кронекер Леопольд — Леопольд Кронекер Леопольд Кронекер (нем. Leopold Kronecker; 7 декабря 1823, Лигниц, Германия, ныне Легница, Польша  29 декабря 1891, Берлин, Германия)  немецкий математик. Брат известного физиолога Гуго Кронекера (1830 1914). Иностранный член… …   Википедия

  • ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ — раздел теории чисел, в к ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в …   Математическая энциклопедия

  • ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ — методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… …   Математическая энциклопедия

  • Система линейных алгебраических уравнений — Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛАУ) в линейной алгебре  это система уравнений вида (1) …   Википедия

  • СЛАУ — Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре это система уравнений вида (1) Здесь x1, x2, …, xn неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn коэффициенты системы и b1, b2, … bm свободные члены …   Википедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. — КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Содержание:1. Квантовые поля ................. 3002. Свободные поля и корпускулярно волновой дуализм .................... 3013. Взаимодействие полей .........3024. Теория возмущений ............... 3035. Расходимости и… …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»