- АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА РАЗНОСТНЫМ
приближение дифференциального оператора таким зависящим от параметра оператором, результат применения к-рого к функции определяется ее значениями на нек-ром дискретном множестве точек - сетке, уточняющееся при стремлении параметра (шага сетки) к нулю.
Пусть
- дифференциальный оператор, переводящий каждую функцию ииз класса функций
в функцию
из линейного нормированного пространства F. Пусть
- область определения функций из
и в
выделено нек-рое дискретное подмножество - сетка
("сгущающаяся" при
). Рассматривается множество
всех функций
, определенных только на сетке и совпадающих в точках сетки с и. Разностным оператором наз. всякий оператор
, переводящий сеточные функции из
в функции
из F. Говорят, что оператор
аппроксимирует (аппроксимирует с порядком
) дифференциальный оператор Lна классе U, если для любой функции uОU при h->0
Иногда аппроксимацию понимают как равенство
в смысле той или иной слабой сходимости. А. д. о. р. используется для приближенного вычисления функции Lu по таблице [и]h значений функции ии для аппроксимации дифференциального уравнения разностным.
Существуют два основных приема построения оператора Lh , аппроксимирующего L.
Первый состоит в том, что определяют
как результат применения дифференциального оператора Lк функции из
, полученной с помощью той пли иной интерполяционной формулы из сеточной функции
Второй способ состоит в следующем. В области
определения функции f из Fвводят сетку
и рассматривают линейное пространство
сеточных функций, определенных на
Оператор
строят как произведение двух операторов: оператора, переводящего функцию
в сеточную функцию
из
, то есть в приближенную таблицу значений функции
, и оператора восполнения
с сетки
на всю область
. Напр., для приближения оператора дифференцирования
строится сетка
, состоящая из точек
и сетка Dh F состоящая из точек
Значения оператора Lh[u]h в точках х k* определяются равенствами
Затем
доопределяется вне
кусочно линейно с
изломами, быть может, только в точках
Пусть норма в
определяется формулой
Тогда на классе функций
, имеющих ограниченную третью производную, при
оператор
аппроксимирует
с порядком
соответственно.
На классе
функций с ограниченными вторыми производными аппроксимация при любом
имеет лишь первый порядок.
Иногда задачу А. д. о. р. условно считают решенной, если указан способ построения сеточной функции
определенной только в точках сетки
оставляя задачу о восполнении функции
всюду на
вне рассмотрения. В таком случае для определения аппроксимации пространство
считают нормированным и притом относительно сетки п нормы предполагается, что для всякой функции
совпадающая с ней в точках
функция
удовлетворяет равенству
Оператор
понимают как оператор из
в
и говорят, что оператор
аппроксимирует (аппроксимирует с порядком
) дифференциальный оператор
на множестве
, если при
Для построения оператора
, аппроксимирующего
на достаточно гладких функциях с заданным порядком, часто прибегают к замене каждой производной, входящей в выражение
, ее разностной аппроксимацией, опираясь для этого на следующий факт. При любых натуральных
и при любом
в равенстве
используя метод неопределенных коэффициентов и формулу Тейлора, можно так подобрать числа
, не зависящие от h., чтобы для любой функции
, имеющей
ограниченных производных, выполнялось веравенство вида
где
зависит только от
и
. Напр., пусть требуется построить аппроксимирующий оператор для оператора Лапласа
если
- замкнутый квадрат
- его внутренность
Задается
- натуральное, и строится сетка, причем к DhU относятся точки
а к
- точки
где
- целые. Так как
то
на достаточно гладких функциях аппроксимируется со вторым порядком разностным оператором
, если положить в точках DhF
где
и
- значения функций
и
в точке (mh, nh).
Существуют отличные от указанного способы построения операторов
, аппроксимирующих оператор Lна решениях
дифференциального уравнения Lu=0 и удовлетворяющих дополнительным требованиям.
Лит.:[1] Филиппов А. Ф., "Докл. АН СССР", 1955, т. 100, Лс 6, с. 1045-48; [2] Березин И. С., Жидко в Н. <П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966. В. С. Рябенъкий.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.