КОЛМОГОРОВА - СМИРНОВА КРИТЕРИЙ

- непараметрический критерий, применяемый для проверки гипотезы Н ₀, согласно к-рой независимые случайные величины Х ₁, ..., Х _п имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x)против односторонней альтернативы : где - математическое ожидание функции эмпирического распределения F_n(x). К.- С. к. построен на статистике

где - вариационный ряд, полученный по выборке Х _х, ..., Х _п. Таким образом, К.- С. к. является вариантом Колмогорова критерия для проверки гипотезы Н ₀ против односторонней альтернативы Изучая распределение статистики D⁺_n, Н. В. Смирнов [1] показал, что

где 0<Х<1, [а] - целая часть числа а. Кроме точного распределения (1) статистики Н. В. Смирнов получил также ее предельное распределение, именно: если и 0<l₀<=О( п ^1/6), то

где l₀- любое положительное число. С помощью техники асимптотических пирсоновских преобразований было показано [2], что если и 0<l₀<l=О(), то

Согласно К.- С. к. с уровнем значимости aгипотезу H₀ следует отвергнуть, коль скоро

причем, в силу (2),.

Аналогично поступают при проверке гипотезы Н ₀ против альтернативы :

В этом случае статистикой К.- С. к. является случайная величина

распределение к-рой, при справедливости гипотезы Н ₀, совпадает с распределением статистики

Лит.:[1] Смирнов Н. В., "Успехи матем. наук", 1944, в. 10, с. 179-206; [2] Большев Л. Н., "Теория вероятностей и ее применения", 1963, т. 8, в. 2, с. 129-55; [3] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [4] Ван дер Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960.

М. С. Никулин.