КАНТОРА ТЕОРЕМА


КАНТОРА ТЕОРЕМА

- 1) Множество 2A, состоящее из всех подмножеств множества А, не равномощно ни самому А, ни его подмножеству. Идея доказательства этой теоремы, принадлежащая Г. Кантору (G.Cantor, 1878), получила название "канторова диагонального метода" и играет существенную роль в теории множеств. Из К. т. следует, что никакие два из множеств А, не равномощны. Таким способом получается бесконечно много различных кардинальных чисел. Из К. т. вытекает, что не существует множества всех множеств. Это означает, что нельзя принять аксиому теории множеств, утверждающую существование для каждой высказывательной функции Ф (х)множества, состоящего из элементов х, удовлетворяющих Ф(х)(СМ. [1], [2], [3], [8]).

Б. А. Ефимов.

2) Любая последовательность убывающих ограниченных замкнутых множеств действительных чисел имеет непустое пересечение. Обобщается на компактные подмножества метрич. пространства. Свойство: диаметры замкнутых множеств метрич. пространства X, последовательно вложенных друг в друга, стремятся к нулю - одно из определений полноты X. Свойство: вполне упорядоченная система убывающих замкнутых множеств топологич. пространства X- одно из определений бикомпактности X(см. [1], [2], [4], [5], [11]).

3) Всякое множество действительных чисел есть объединение совершенного множества своих конденсации точек и счетного множества; иногда наз. теоремой Кантора - Бендиксона. Обобщена на случай подмножеств метрич. пространства со счетной

базой (теорема Линделёфа) (см. [1], [2], [3], [14], [15]).

4) Если из двух множеств каждое эквивалентно части другого, то эти два множества эквивалентны между собою. Аналогичное утверждение справедливо и для вполне упорядоченных множеств. Иногда наз. теоремой Кантора - Бернштейна или просто теоремой Бернштейна (последний дал корректное доказательство этой теоремы) (см. [1], [2], [3], [10], [12], [16]).

5) Если для всех, кроме конечного числа, точек отрезка [-p, p], то а п,Обобщена на случаи, когдана множестве положительной меры (теорема Лебега), когда на множестве второй категории (теорема Юнга), и на другие ситуации. Важнейшим следствием являются различные теоремы о множествах единственности тригонометрпч. рядов (см. [1], [6], [7], [9], [18], [19]).

6) Функция, непрерывная на замкнутом отрезке действительной оси, равномерно непрерывна на нем. Обобщена на случай непрерывных отображений бикомпактного пространства в равномерное пространство. Иногда наз. теоремой Гейне - Кантора (см. [1], [4], [5], [13]).

Лит.:[1] Cantor G., Gesammelte Abhandlungen, В., 1932; [2] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; [3] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970; [4] Александров П. С, Введение в теорйю множеств и общую топологию, М., 1977; [э] Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968; [6] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; .[7] Уиттекер Э. Т., Ваг сон Дж. Н., Курс современного анализа, 2 изд., т. 1, пер. с англ., М., 1963; [8] Сantor G., "J. reine und angew. Math.", 1878, Bd 84, S. 242-58; [9] eго же, "Math. Ann.", 1871, Bd 4, S. 139-43; [10] его же, там же, 1897, Bd 49, S. 207-46; [11] его же, там же, 1880, Bd 17, S. 355-58; [12] Bore 1 Е., Lecons sur la theorie des fonctions, P., 1898; [13] Heine E., "J. reine und angew. Math.", 1872, Bd 74, S. 172; [14] Lin del of E., "Acta math.", 1905, v.29, p. 183-90; [15] Cantor G., "J. reine und angew. Math.", 1870, Bd 72, S. 130-42: [16] его же, "Math. Ann.", 1883, Bd 21, S. 51-58; [17] Bendixson I., "Acta math.", 1883, v. 2, p. 415-29; [18] Lebesgue H., Lecons sur les series trigonometriques..., P., 1906; [19] Young W. H., "Proc. Roy. Soc", 1912, v. 87, p. 331-39; [20] Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963.

М. И. Войцеховский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КАНТОРА ТЕОРЕМА" в других словарях:

  • Кантора теорема — В теории множеств теорема Кантора гласит, что Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Доказательство Предположим, что существует множество A, равномощное множеству всех своих подмножеств 2A, то есть что есть биекция f,… …   Википедия

  • Теорема Кантора (значения) — Теорема Кантора: Теорема Кантора о множестве подмножеств в теории множеств Теорема Кантора Бендиксона Теорема Кантора Бернштейна Теорема Кантора Гейне …   Википедия

  • Теорема Кантора — Бернштейна — Теорема Кантора  Бернштейна (в англ. литературе теорема Кантора  Бернштейна  Шрёдера), утверждает, что если существуют инъективные отображения и между множествами A и B, то существует взаимооднозначное отображение …   Википедия

  • Теорема Кантора — Бендиксона — Всякое множество вещественных чисел есть объединение совершенного множества своих точек конденсации и счётного множества. Обобщена на случай подмножеств метрического пространства со счётной базой (см. теорема Линделёфа) …   Википедия

  • Теорема Больцано — Вейерштрасса — Теорема Больцано Вейерштрасса, или лемма Больцано Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Больцано — Теорема Больцано  Вейерштрасса, или лемма Больцано  Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Сарда — Теорема Сарда  одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в теории теории катастроф и теории динамических систем.[1] Названа в честь американского математика Артура Сарда.[2] В некоторых источниках называется теоремой… …   Википедия

  • Теорема Кантора — Гейне — в математическом и функциональном анализе гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём. Формулировка Пусть даны два метрических пространства и Пусть также дано компактное подмножество …   Википедия

  • Теорема Кантора — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Кантора (значения). В теории множеств теорема Кантора гласит, что Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Доказательство Предположим, что существует множество ,… …   Википедия

  • Теорема Пифагора — Теорема Пифагора  одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.