ИНТЕГРАЛЬНАЯ ВОРОНКА

точки Р(t₀, х₀ )для дифференциального уравнения dx/dt=f(t, x)- множество всех точек, лежащих на интегральных кривых, проходящих через точку Р[под уравнением можно понимать систему уравнений в векторной записи с x=(x₁, ..., х _п)]. Если через точку Рпроходит только одна интегральная кривая, то И. в. состоит из одной этой кривой. В случае п=1, т. е. когда х- скаляр, И. в. состоит из точек (t, x), для к-рых где х*(t)и х _* (t)- верхнее и нижнее решения, т. е. наибольшее и наименьшее из решений, проходящих через точку Р.

Если функция f(t, x )непрерывна (или удовлетворяет условиям теоремы существования Каратеодори), то И. в.- замкнутое множество. Если при этом все решения, проходящие через точку Р, существуют на отрезке то отрезок воронки (часть И. в., определяемая неравенствами ) и сечение И. в. любой плоскостью являются связными компактами.

Любую точку на границе И. в. можно соединить с точкой Ркуском интегральной кривой, лежащим на границе И. в. Если последовательность точек Р _k, k=1,2, ..., сходится к точке Р, то отрезки воронок точек Р _k сходятся к отрезку воронки точки Рв том смысле, что для любого e>0 они содержатся ири k>k₁(e)в 8-окрестности отрезка воронки точки Р. Аналогичными свойствами обладают И. в. для дифференциальных включений

при определенных предположениях о множестве F(t, x).

Лит.:[1] Kamke E., "Acta math.", 1932, v. 58, p. 57-85; [2] Бокштейн М. Ф., "Уч. зап. МГУ, сер. матем.", 1939, в. 15, с. 3-72; [3] Рugh С. С, "J. Dif. Equat.", 1975, v. 19, № 2, p. 270 - 95.

А. Ф. Филиппов.