ИНВАРИАНТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

- оператор, не меняющий своего вида при тех или иных преооразованиях пространства, в к-ром он определен. Напр., если - оператор с частными производными, записанный в некоторой системе координат ( х ₁, . .., х _п), а х _k=j_k (у), y= ( у ₁ , ..., у _п)- некоторое преобразование координат, порождающее соответствующее отображение j* в множестве функций и(х)(каждой функции и(х)сопоставляется естественным образом функция j*u(y)), и

причем оператор Lв правой части этого равенства выражается через д/ду _k так же, как оператор Lчерез д/дх _k в левой, то говорят, что Lинвариантен относительно преобразования j (или Lперестановочен с оператором преобразования j*). Наиболее важен случай, когда И. д. о. инвариантен относительно нек-рой совокупности преобразований, образующей группу. Определение И. д. о. существенно усложняется при рассмотрении систем функций, преобразующихся по нек-рому представлению этой группы преобразований. И. д. о., связанные с группой Лоренца и ортогональной группой (волновой оператор, операторы Клейна - Гордона, Лапласа и др.) играют важнейшую роль в математич. физике. В анализе на дифференцируемых многообразиях широко используются оператор внешнего дифференцирования d, инвариантный относительно диффеоморфизмов, и метрически сопряженный с ним оператор d, инвариантный относительно гладких преобразований, сохраняющих метрический тензор. В теории групп Ли весьма важны так наз. лево- или правоинвариантные операторы относительно соответствующих сдвигов на группе.

Лит.:1] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [2] Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958; [3] Де-Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [4] Xелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.

А. А. Дезин.