ИЗОМОРФИЗМ

- соответствие (отношение) между объектами или системами объектов, выражающее в некотором смысле тождество их строения. И. в произвольной категории есть обратимый морфизм, т. е. морфизм j, для к-рого существует такой морфизм j^-1,что произведение j^-1j=jj^-1=e - единичный морфизм.

Понятие И. возникло в математике применительно к конкретным алгебраич. системам (прежде всего к труппам) и было естественным образом распространено на более широкий класс математич. структур. Классич. примером изоморфных, "одинаково устроенных" систем могут служить множество R всех действительных чисел с определенной на нем операцией сложения и множество Рположительных действительных чисел с заданной на нем операцией умножения.

Пусть А и А' произвольные однотипные алгебраические системы, записанные в сигнатуре

с функциональными символами F_i, i ОIи предикатными символами

Изоморфизмом, или изоморфным отображением, системы Ана систему А' наз. взаимно однозначное отображение j множества Ана множество А', обладающее свойствами:

для всех элементов а ₁, а₂, . . . из Аи всех Таким образом, во всякой категории алгебраич. систем И. есть гомоморфизм, являющийся биекцией. И. алгебраич. системы на себя наз. автоморфизмом.

Отношение И. обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т. е. является отношением эквивалентности, разбивающим любое множество, на к-ром оно определено, на непересекающиеся классы эквивалентности - классы попарно изоморфных систем. Класс алгебраич. систем, содержащий вместе со всякой системой все ей изоморфные, наз. абстрактным классом.

О. А. Иванова., Д. М. Смирнов.