ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО


ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО

- элемент полугруппы D дивизоров кольца Ацелых чисел нек-рого поля алгебраич. чисел. Полугруппа D- коммутативная свободная полугруппа с единицей; ее свободные образующие наз. простыми идеальными числами. В современной терминологии И. ч. наз. целыми дивизорами кольца А. Они допускают естественное отождествление с идеалами кольца А.

И. ч. были введены в связи с отсутствием однозначности разложения на простые множители в кольцах целых алгебраич. чисел. Для каждого разложение соответствующего дивизора j(а). в произведение простых И. ч. можно рассматривать как нек-рую замену однозначности разложения на простые множители в случае, когда такое разложение в кольце А неоднозначно.

Напр., кольцо Авсех целых чисел поля состоит из всех чисел вида а+bс целыми аи b. В этом кольце число 6 допускает два различных разложения на множители:

причем числа 2, 3, и - простые попарно неассоциированные элементы кольца А; таким образом, разложение на простые множители в Анеоднозначно. Однако в полугруппе Dэлементы j(2), j(3), j(1+), ф(1-) не будут простыми, а именно:

где - простые И. ч. в

D. Таким образом, два разложения числа 6 на простые множители в кольце Апродолжаются до одного и того же разложения в D.

Понятие И. ч. было введено Э. Куммером (Е. Rummer) в связи с исследованием арифметики круговых полей (см. [1] - [2]). Пусть K=Q(z) - поле деления круга на р частей и А= Z(x) - кольцо целых чисел поля AT. И. ч. для кольца A определялись как произведение простых И. ч., а эти последние - как "идеальные" простые делители простых натуральных чисел. Для построения всех простых И. ч., делящих заданное простое натуральное q, использовалась Куммера теорема. Пользуясь тем, что Аимеет степенной базис 1, x, x2, . . .,xp-2 над Z, Э. Куммер рассматривал разложение кругового многочлена F р (Х). в кольце Z/qZ[X]. И. ч., делящими число q, объявлялись элементы, находящиеся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми множителями F р (Х)в Z/qZ[X](несколько другого подхода требовал случай p = q). Специальный метод применялся для определения показателя степени, с к-рым данное простое И. ч. входит в данное Аналогичный метод он разработал для создания теории делимости в полях вида Q(x,), где

Перенесение теории И. ч. на случай произвольного поля алгебраических чисел принадлежит в основном Л. Кронекеру (L. Kronecker) и Р. Дедекинду (R. Dedekind). Уже в их работах наметилось разделение теории И. ч. на теорию дивизоров (подход Л. Кронекера) и теорию идеалов. Р. Дедекинд каждому И. ч. взаимно однозначно сопоставлял идеал кольца А, к-рый определялся им как подмножество в А, состоящее из О и всех таких а, что аделится на это И. ч. При этом, если а 1,. . ., а п- образующие, идеала I, то соответствующее I И. ч. является наибольшим общим делителем И. ч. j(a1), . . ., j(an).

Впоследствии понятие идеала было распространено на случай произвольного кольца А; кольца, для к-рых понятия идеала и дивизора совпадают, наз. теперь дедекиндовыми.

Лит.:[1] Kummer E., "J. reine und angew. Math.", 1847, Bd 35, S. 319-26, 327-67; [2] его же, "J. math, pure.s etappl.", 1851, t. 16, p. 377-498; [3] Edward HaroldM., "Arch. Hist. Exact. Sci.", 1975, v. 14, № 3, p. 219-36; L4] Бурбаки H., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [5] его же, Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963.

Л. В. Кузьмин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО" в других словарях:

  • идеальное число — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN perfect number …   Справочник технического переводчика

  • Идеальное число — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Идеальные числа были введены …   Википедия

  • Идеальное число —         см. Идеал (математический) …   Большая советская энциклопедия

  • ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО ДЕТЕЙ — ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО ДЕТЕЙ, представление индивида о наилучшем числе детей в семье вообще, без учёта конкретной жизненной ситуации и личных предпочтений. И. ч. д. один из элементов общего комплекса представлений об идеальном образе жизни. В рамках… …   Демографический энциклопедический словарь

  • Идеальное общество по Муаммару Каддафи — Муаммар Каддафи выдвинул системную идею общественного устройства, которая нашла частичное воплощение в Ливии. Как и предшественники, начиная с Платона, Каддафи искал идеальную форму общественного сосуществования, при котором наряду с социальной… …   Википедия

  • 5040 (число) — 5040 пять тысяч сорок 5037 · 5038 · 5039 · 5040 · 5041 · 5042 · 5043 5010 · 5020 · 5030 · 5040 · 5050 · 5060 · 5070 Факторизация: 24×32×5×7 Римская запись: VXL Двоичное: 1001110110000 Восьмеричное: 11660 Шестнадцатеричное …   Википедия

  • СОЦИОЛОГИЯ СЕМЬИ — отрасль социологии, изучающая С. ( Семья) социальную систему воспроизводства человека, основанную на кровном родстве, браке или усыновлении, и объединяющую людей общностью быта, взаимной моральной ответственностью и взаимопомощью. Одна из… …   Социология: Энциклопедия

  • УНИВЕРСАЛИИ — (от лат. universalis общий) общие понятия. В филос. проблеме онтологического и гносеологического статуса У. ставится вопрос о том, что такое реальное бытие, каким образом существует идеальное, как возможно рациональное понятийное познание, как… …   Философская энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… …   Математическая энциклопедия

  • СОЦИОЛOГИЯ РОЖДАЕМОСТИ — СОЦИОЛOГИЯ РОЖДАЕМОСТИ, исследование на стыке социологии, демографии и социальной психологии социально экон. обусловленности изменений рождаемости, рассматриваемых во взаимодействии общества и личности. С. р. разрабатывает широкий круг проблем,… …   Демографический энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.