ДЕЛИТЕЛЕЙ ПРОБЛЕМЫ


ДЕЛИТЕЛЕЙ ПРОБЛЕМЫ

- проблемы теории чисел, касающиеся асимптотич. поведения сумматорных функций

(где t(n) - число делителей п, а tk (п), k>2,- число представлений пв виде произведения кнатуральных чисел), а также модификаций этих функций.

Проблема делителей Дирихле - проблема наилучшей оценки остаточного члена D(х)в асимптотич. формуле

где С- Эйлера постоянная. Асимптотика суммы

впервые рассмотрена П. Дирихле (P. Dirichlet) в 1849. Он исходил из того, что данная сумма равна числу точек ( и, v )с целыми положительными координатами под гиперболой uv=x, и доказал, что

Эта формула наз. формулой Дирихле числа делителей.

Д. п. явилась одной из тех моделей, на к-рых развивались методы оценок числа целых точек в разного рода расширяющихся областях. Пусть q - нижняя грань чисел aв соотношении Согласно П. Дирихле,

Г. Ф. Вороной доказал, что Далее последовательно были получены оценки

Истинный порядок величины D (х)(к 1978) неизвестен. Существует гипотеза, что

С другой стороны, X. Харди (Н. Hardy) доказал, что q>1/4, или, точнее,

Кроме того, известна формула

(А- постоянная), показывающая справедливость "в среднем" гипотезы о порядке (х).

Обобщенная проблема делителей - проблема наилучшего асимптотич. выражения, при суммы

в частности, при k=2

Обобщенная Д. п. тесно связана с поведением дзета-функции Римана z(s) в критич. полосе значений s. Именно, для нецелого x>0, с>1 имеет место формула

Здесь подинтегральная функция имеет в точке s= 1 полюс порядка кс вычетом вида хР k(lnх), где Р k -многочлен степени k-1. Пусть

и пусть gk<g<1, где gk- нижняя грань чисел s, для к-рых

Тогда справедливы формула

и обратная формула Меллина:

где интеграл существует в смысле среднего квадратичного для

Оценки остаточного члена Dk (х)в формуле Dk (х)еще далеки (к 1978) от ожидаемых. Пусть ak - наименьшее из чисел а, для к-рых

при любом e>0. Известны оценки:

Имеются уточнения этих оценок для частных значении k:

Последний результат оценки сверху ak получен в [3] на основе развития идей Виноградова метода:доказано существование такой абсолютной постоянной с>0, что

Эта оценка есть следствие оценки z(s). в критич. полосе: для 1/2<s<1, |t|>2 существует такая постоянная а>1, что

С другой стороны, X. Харди (G. Hardy) доказал, что

Относительно величины Dk(x) существует гипотеза:

при всех Однако для ее обоснования недостаточно даже решения Линделёфа гипотезы:

при любых e>0, s>1/2.

Дальнейшее обобщение Д. п. [4]: равномерно относительно целых при

где

Проблема делителей в арифметических прогрессиях -проблема равномерных относительно х, d,(l, d)=1, оценок сумм

Эти суммы изучались на основе аналитич. методов теории L-функций и важны для многих проблем теории чисел (см. [7]). В простейшем случае (m=1) для них получены асимптотич. выражения:

При любом и к=2 найден (см. [9]) истинный порядок роста для

В общем случае доказано [10j, что

где - ожидаемый главный член роста,

М- положительная сколь угодно большая постоянная, e>0 - любое число.

Последнее неравенство, в частности, показывает, что суммы Dk(m) (х; d, l )при любых целых "в среднем" имеют один и тот же главный член роста для всех примитивных арифметич. прогрессий разности

Лит.:[1] ТитчмаршЕ. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., 1953; [2] Xуа Ло - ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [3] Карацуба А. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1971, т. 112. с. 241-55; [4] Марджанишвили К. К., "Докл. АН СССР", 1939, т. 22, с. 391-93; [5] Нооlеу С, "Proc. London Math. Soc", ser. 3, 1957, v. 7, № 27, p. 396 - 413; [6] Линник Ю. В., "Матем. сб.", 1961, т. 53, 1, с. 3-38; [7] его же, Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [8] Лаврик А. Ф., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1966, т. 30, № 2, с. 433-48; [9] Виноградов А. И., Линник Ю. В., "Успехи матем. наук", 1957, т. 12, в. 4, с. 277-80; [10] Виноградов А. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1965, т. 29, № 4, с. 903-34.

А. Ф. Лаврик.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДЕЛИТЕЛЕЙ ПРОБЛЕМЫ" в других словарях:

  • ДЕЛИТЕЛЕЙ ЧИСЛО — функция натурального аргумента п. равная количеству натуральных делителей числа и. Эта арифметич. функция обозначается т(п), либо d(n). Известна формула: где канонич. разложение пна простые сомножители. Для простых рt(р)=2, но существует… …   Математическая энциклопедия

  • Открытые проблемы в теории чисел — Теория чисел  это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем,… …   Википедия

  • КРУГА ПРОБЛЕМА — проблема наилучшей асимп тотич. оценки числа (х).целых точек ( и, v).в круге Пусть нижняя грань числа а в равенстве К. Гаусс (см. [1]) доказал, что В. Серпиньский [2] по методу Г. Ф. Вороного [3] установил, что Последней (1982) является оценка… …   Математическая энциклопедия

  • Ч3-33 — Значимость предмета статьи поставлена под сомнение. Пожалуйста, покажите в статье значимость её предмета, добавив в неё доказательства значимости по частным критериям значимости или, в случае если частные критерии значимости для… …   Википедия

  • Карацуба — Карацуба, Анатолий Алексеевич Карацуба Анатолий Алексеевич Дата рождения: 31 января 1937(1937 01 31) …   Википедия

  • Карацуба, Анатолий Алексеевич — Карацуба Анатолий Алексеевич Дата рождения: 31 января 1937 …   Википедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел. В А. т. ч. включают вопросы распределения простых чисел, аддитивные проблемы, исследование поведения теоретико числовых функций, теорию алгебраических и трансцендентных чисел. Распределение простых чисел, а) Одной из… …   Математическая энциклопедия

  • Чисел теория —         наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.          Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., 3 …   Большая советская энциклопедия

  • МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ — Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… …   Энциклопедия Кольера

  • Алгоритм Шенкса — (англ. Baby step giant step; также называемый алгоритм больших и малых шагов)  в теории групп, детерминированный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Для модулей специального вида данный… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.