- ДВУЧЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ
- алгебраическое сравнение вида
(1)где а, т- взаимно простые целые числа, а
- натуральное число. Если сравнение (1) разрешимо, то аназ. вычетом степени ппо модулю т. В противном случае аназ. невычетом степени ппо модулю т.Вопрос о разрешимости Д. с. по составному модулю тсводится к изучению аналогичного вопроса для случая простого модуля р(см. Сравнение). Для простого модуля имеется критерий разрешимости, доказанный Л. Эйлером (L. Euler): для разрешимости сравнения
необходимо, чтобы выполнялось условие
где d - наибольший общий делитель чисел пи р-1; при выполнении этого условия данное сравнение имеет ровно d решений.
Из критерия Эйлера непосредственно следует, что среди чисел 1, 2, ..., р-1 имеется в точности (р-1)/d вычетов и (d-1)(d-1)/d невычетов степени ппо модулю р.
Значительно сложнее обратная задача: найти все модули р, по к-рым заданное число аявляется вычетом (или невычетом) степени
Л. Эйлером установлено, что разрешимость или неразрешимость сравнения x2=a(mod p)зависит от того, принадлежит или нет простой модуль рнекоторым арифметич. прогрессиям. Полное доказательство этого результата впервые получил К. Гаусс (С. Gauss, 1801; см. [4], а также Гаусса закон взаимности, Квадратичный закон взаимности). Более того, К. Гаусс заметил, что полное решение указанной задачи при 
возможно только в нек-ром расширении кольца целых рациональных чисел. Так, для установления закона взаимности для биквадратичных вычетов он вынужден был расширить кольцо целых рациональных чисел до кольца целых комплексных чисел Z[i]. Разрешимость или неразрешимость биквадратичного сравнения z4=w(mod p)в кольце Z[i]при заданном 
зависит от того, каков вычет числа рпо нек-рому постоянному модулю D кольца Z[i].Новый этап в изучении Д. с. и их применений к другим задачам теории чисел был начат работами И. М. Виноградова, к-рый в 1914 доказал, что количество Rквадратичных вычетов по простому модулю рсреди чисел 1, 2, ...,Q,
выражается формулой
где
Аналогичный результат был впоследствии получен И. М. Виноградовым и для более общей задачи о числе решений 
сравнения когда упробегает неполную систему вычетов 1<y<Q.Лит.:[1] Венков Б. А., Элементарная теория чисел. М.-Л., 1937; [2] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] его же, Избр. труды, М., 1952; [4] Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, [пер.1, М., 1959.
С. А. Степанов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
