- ГЛАВНЫЙ G-ОБЪЕКТ
в топологизированной категории - понятие теории категорий, частные случаи которого - главное расслоение втопологии, главное однородное пространство в алгеб-раич. геометрии и др. Пусть G - групповой объект категории С с произведениями и финальным объектом е. Объект Рназ. G-объектом, если определен морфизм я:
, для к-рого коммутативны следующие диаграммы:
Здесь
- морфизм группового закона на G, а
- морфизм единичного элемента G. Более точно, введенные выше G-объекты наз. правыми G-объектами, аналогично дается определение левых G-oбъектов. Примером G-объекта может служить сам групповой объект G, для к-рого отображение
совпадает с отображением p. Такой объект наз. тривиальным G-oбъектом. G-объекты категории Собразуют подкатегорию
, морфизмами в к-рой служат морфизмы, перестановочные с морфизмами
. G-объект наз. формально главным G-oбъектом, если морфизмы
и
индуцируют изоморфизм
. Если Т - некоторая топология Гротендика на категории С, то формально главный G-объект Рназ. главным G-объектом (относительно топологии Т), если существует покрытие
финального объекта такое, что для любого
произведение
изоморфно ривиальному
-объекту.
Примеры. 1) Если С - категория множеств, а G - группа, то непустые G-объекты наз. G-множествами. Это множества Р, для к-рых задано такое отображение
что для любых
имеет место
и для любого
верно
Главный G-объект есть G-множество, в к-ром для любых р,
существует единственный элемент
такой, что
(главное однородное G-множество). Если Рне пусто, то выбор
определяет отображение
, к-рое устанавливает изоморфизм Ри тривиального G-множества G. Тем самым в любой топологии формально главный G-объект является главным G-объектом.
2) Если X - дифференциируемое многообразие, H - группа Ли, то, взяв за Скатегорию расслоений над X, за групповой объект G проекцию
и определив топологию в G с помощью семейств открытых покрытий, можно получить определение главного G-расслоения.
Если Р - формально главный G-объект категории С, то для любого объекта X категории
множество
либо пусто, либо является главным однородным
-множеством.
G-объект Ризоморфен тривиальному G-объекту тогда и только тогда, когда существует сечение
. Множество классов G-объектов (относительно отношения изоморфизма между ними) обозначается через
В случае, когда G - абелев групповой объект, множество
с отмеченной точкой, соответствующей классу тривиальных G-объектов, является группой и вычисляется стандартными средствами гомологич. алгебры. В общем случае вычисления
используют конструкции когомологий Чеха (см. Неабелевы когомологии).
Лит.:[1] Revetements etales et groupe fondaraental. В., 1971 . И. В. Долгачев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.