Верхняя и нижняя грани

Верхняя и нижняя грани
(математические)
        важные характеристики множеств на числовой прямой. Верхняя грань (В. г.) множества Е действительных чисел — наименьшее из всех чисел А, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство хА. Иными словами, В. г. множества Е — это такое число a, что для любого x из Е выполняется неравенство xa и для любого a' < а найдётся число x0 из Е, для которого x0 > a'. В этом определении множество Е предполагается не пустым. Для существования В. г. необходимо и достаточно, чтобы множество Е было ограничено сверху, то есть, чтобы существовали такие числа А, что хА для любого x из Е. Это предложение представляет собой одну из форм принципа непрерывности числовой прямой (так называемый принцип непрерывности Вейерштрасса). Если среди чисел множества Е есть наибольшее, то оно и является В. г. Е. Однако, если среди чисел Е нет наибольшего, то это множество всё же может иметь В. г. Например, В. г. множества всех отрицательных чисел равна 0. Множество всех положительных чисел не ограничено сверху и поэтому не имеет В. г.; иногда говорят, что его В. г. равна + ∞. Аналогично понятию В. г. множества определяется нижняя грань (Н. г.) множества Е как наибольшее из чисел В, обладающих тем свойством, что для любого х из Е выполняется неравенство x ≥ B. В. г. множества Е обозначается sup Е (от латинского supremum — наивысший); Н. г. обозначается inf Е (от латинского infirnum — наинизший). Важность понятий В. г. и Н. г. для математического анализа была выяснена немецким математиком К. Вейерштрассом, они являются основными для строгого изложения начал математического анализа. Аналогично понятию В. г. (Н. г.) для числовых множеств вводятся понятия В. г. (Н. г.) для любых частично упорядоченных множеств.
         Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд.. т. 1, М., 1966.
         С. Б. Стечкин.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Верхняя и нижняя грани" в других словарях:

  • ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ — характеристики множеств на прямой. Верхняя грань нек рого множества действительных чисел наименьшее число, ограничивающее сверху это множеетво. Нижняя грань данного множества наибольшее число, ограничивающее его снизу. Более подробно: пусть… …   Математическая энциклопедия

  • Точная верхняя и нижняя грани — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры …   Википедия

  • Нижняя грань — (математическая)         см. Верхняя и нижняя грани …   Большая советская энциклопедия

  • Точная верхняя и нижняя границы множеств — Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань)  обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Используемые определения 2 Определения 2.1 …   Википедия

  • Верхняя грань — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • Нижняя грань — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • Затвор часть огнестрельного оружия — часть огнестрельного оружия, заряжаемого с казны, служащая для закрывания канала с целью образования его дна. ЗАМКИ и ЗАТВОРЫ ОРУЖИЯ [Объяснение см. в тексте.] А) Затворы артиллерийских орудий относятся по существу к двум категориями 1) клиновые… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Затвор, часть огнестрельного оружия — часть огнестрельного оружия, заряжаемого с казны, служащая для закрывания канала с целью образования его дна. ЗАМКИ и ЗАТВОРЫ ОРУЖИЯ [Объяснение см. в тексте.] А) Затворы артиллерийских орудий относятся по существу к двум категориями 1) клиновые… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте — Теорема Вейерштрасса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компактe, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство для R 3 Замечания …   Википедия

  • Теорема Вейерштрасса о функции на компакте — Теорема Вейерштрасса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»