Рауса - Гурвица проблема

        проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения

         a₀zⁿ + a₁z^n-1 + ... + a_n-1z + a_n = 0,

        имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a₀, a₁, ..., a_n справедлива формула

        

        где V — число знакоперемен в ряде чисел a₀, D₁, D_l (l = 1, 2, ..., n — определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из D_l равны нулю. В случае l = 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. — Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину

         a₀(iω) ⁿ + a₁(iω) ^n-1... + a_n,

        при изменении ω от 0 до + ∞ описывает кривую. Если при этом полярный угол θ точки кривой получает приращение

         Δθ = ν

         k = (n — ν)/2. (2)

         Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0 из формулы (2) следует ν = n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).

         В приложениях встречаются обобщения Р. — Г. п. на случай комплексных коэффициентов a₀, a₁, ..., a_n и на случай трансцендентных уравнений.