Лежандра многочлены

        сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Л. м. Р (х) могут быть определены формулой:

        

        ,

         в частности:

        

        ,

        

        ,

        

        ,

        

        

         и т.д. Все нули многочлена P_n (x) — действительные и лежат в основном промежутке [—1, +1], перемежаясь с нулями многочлена P_n+i (x). Л. м. — Ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [—1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f (x), интегрируемой на отрезке [—1, +1]:

        

        ,

         где

         Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.

         Явное выражение для Л. м.:

        

         Производящая функция:

        

         (Л. м. — коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:

         nP_n (x) + (n - 1) P_n-2(x) - (2n - 1) xP_n-1(x) = 0.

         Дифференциальное уравнение для Л. м.

        

         возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции.

        

         Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963.

         В. Н. Битюцков.