Арифметические ряды:

- Пусть будет ряд:

(A)::u0, u1, u2, u3,::

Если из этого ряда через вычитание каждого члена из последующего выведем другой ряд

(B)::u1 - u0, u2 - u1, u3 - u2::

равным образом, через вычитание каждого члена ряда (В) из следующего составим ряд

(C)::u2 - 2u1+u0, u3 - 2u2+u1, u4 - 2u3+u2,::

и другие подобные ряды (D), (E): (N), то (В), (С): по отношению к (А) будут первым, вторым и т. д. разностным рядом. Если n-ый разностный ряд будет состоять из равных членов, отличных от нуля, то такой ряд называется арифметическим рядом n-го порядка. Очевидно, что члены (n + 1)-го, (n + 2)-го и т. д. разностных рядов будут равны нулю. Отсюда легко заключить, что арифметическая прогрессия a, a+b, a+2b, a+3b,: есть арифметический ряд 1-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.b.

Ряд a 2, (a + b)2, (a + 2b)2, (a + 3b)3: есть арифметический ряд 2-го порядка, где постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.b 2, и т. д.

Ряд a n, (a + b)n, (a + 2b)n, (a + 3b)n: есть арифметический ряд n-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.3:.nb n. Очевидно, что исследование свойств их приводится к исчислению разностей.