Модальная логика

Модальная (от лат. – способ, мера) логика — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы). Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-то в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.). Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

Обычно для обозначения модального оператора используется $\Box$ и двойственный к нему $\diamondsuit$:

 $\diamondsuit A = \neg \Box \neg A$

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».

Модальности

• Алетические (от древнегр. alethinos — истинный) модальные понятия:
  • Логические
    • L — необходимо
    • M — возможно
    • С — случайно
  • Фактические
    • $\Box$ — необходимо
    • $\Diamond$ — возможно
    • $\triangle$ — случайно

• Деонтические(древнегр. deon, deontos — должное, необходимое) модальные понятия:
  • обязательно
  • разрешено
  • запрещено

Логику деонтических модальностей разработал финский философ Георг фон Вригт

• Аксиологические (древнегр. axios — ценность) модальные понятия:
  • хорошо
  • нейтрально
  • плохо

Аксиологическую логику разработал философ А.А. Ивин.

• Эпистемические (древнегр. episteme — знание) модальные понятия:
  • знание
  • полагание
  • незнание

Эпистемическая логика разработана Яакко Хинтикка.

• Временные:
  • прошлое
  • настоящее
  • будущее

• Пространственные:
  • там
  • здесь
  • нигде

Семантика

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.

Синтаксис

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных $PL$, классических связок $\to, \bot$, скобок $(, )$ и модального оператора $\Box$. А именно, формулой является

1. $p$ для любого $p \in PL$
2. $\bot$
3. $(A \to B)$, если $A$ и $B$ - формулы.
4. $(\Box A)$, если $A$ - формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности

$\Box(p \to q) \to (\Box p \to \Box q)$

и замкнутое относительно правил Modus ponens $\frac{A, A\to B}{B}$, подстановки $\frac{A(p)}{A(B)}$ и введение модальности $\frac{A}{\Box A}$.

Минимальная нормальная модальная логика обозначается $K$.

Конференции по модальной логике

Advances in Modal Logic (AiML) проводится раз в 2 года Methods for Modalities (M4M) — также

Литература

• Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (на английском)
• Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002.
• Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. – М: Наука, 1976. – 720с.
• Фейс Р., Модальная логика.— Главная редакция физ-мат литературы изд-ва "Наука", М.1974
• Шкатов Д.П., Модальная логика и модальные фрагменты классической логики.— Институт философии РАН, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (см. описание книги: в Озоне)

См.также

• Логика знаний

Ссылки

• http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/